Quantität. 
778 Quantität. 
VII. „Die p Functionen « t , u 2 . . . 
Up, welche in der Nähe eines Windungs 
punktes in einander übergehen, sind die 
Wurzeln einer Gleichung ptcn Grades.“ 
Indess ist es offenbar besser und be 
quemer, sich diese p Functionen, wie 
oben gezeigt wurde, als Reihen vorzu- 
V 
stellen, die nach Potenzen von \ (u—A) 
fortschreiten. 
25) Untersuchung der mehr 
fachen Punkte einer wdeutigen 
Function vermittels der Glei 
chung nter Ordnung, welcher 
sie genügt. 
Dagegen muss 
dPf(n, a) . 
du p 
einen von Null 
verschiedenen Werth haben. Setzen wir 
also : 
z = a-\-a, u = ß-{-b, 
so verschwinden, wenn man f(u, z) nach 
Potenzen von a und ß entwickelt, die 
mit ß°,ß,ß 2 ... ß^ 1 multiplicirten 
Glieder, deren Coefficienten aber: 
f{u, «), 
-, 
du' 
bt-'f 
sind, und man hat: 
Wir geben in diesem Abschnitte einen 
Auszug der schönen Arbeit von Puiseux, 
welche sich damit beschäftigt, aus den 
algebraischen Gleichungen die Anzahl 
und Art der mehrfachen Punkte, welche 
die ihnen genügenden Functionen haben, 
zu ermitteln (Liomille, Journal de Ma 
thématiques etc• Tome XV.) 
Sei: 
f(u, *) = 0 
die gegebene Gleichung. Wir setzen 
voraus, dass die Coefficienten der Po 
tenzen von u den Charakter ganzer Func 
tionen haben, was sich ja, wie wir ge 
sehen haben, durch Transformation er 
reichen lässt. Es wird dann u für end 
liches z niemals unendlich werden. 
In Punkt a mögen die Functionen 
m, , «j . . , iip einander gleich und 
gleich b werden. 
Die Bedingungen dafür sind : 
» f (», a) _ o f (u, «)_ Q _ 
du ’ du 2 
1) Aß p + 2Bß (J u'=0, 
wo in allen Gliedern, in welchen r = 0 
ist, q grösser als p sein muss. — Wir 
setzen jetzt noch voraus, dass die Glei 
chung f{u, z-) = 0 irreductibel sei, dass 
sie mithin auch keinen Factor u—X ent 
halten, wo X constant ist, welcher sich 
übrigens leicht würde absondern lassen. 
Unter dieser Voraussetzung muss we 
nigstens in einem Gliede von Gleichung 1), 
in welchem q gleich Null ist, r von Null 
verschieden sein, da sich sonst Factor 
ß = u—b absondern Messe. 
Möge zunächst in dem betreffenden 
Punkte a — nicht der Null gleich sein; 
oz 
es muss dann in 1) ein Glied Ba Vor 
kommen. Sucht man also die Glieder 
niedrigster Dimension in Gleichung 1), 
so haben diese die Form: 
Aß p -\-B «, 
und wenn man a und somit auch ß ins 
Unendliche abnehmen lässt, ergibt sich: 
d? V(m, a) _ 0) 
duP- 1 
wenn man u — b setzt. Denn da das 
Glied links der Gleichung f(u, 2) = 0 
die Form annimmt: 
(m m,) (m Mj) . . . (u-u n ), 
so wird man, falls: 
ii, — w, . . . —u —b 
1 2 P 
ist, dafür setzen: 
(u-b) p {u~u p+1 ) . . . 
und die p—1 ersten Differenzialquotien 
ten dieser Grösse nach u genommen, 
geben den Factor u—b, verschwinden 
also in Punkt er, wenn man u—b setzt. 
AßP + ßn 3 0, 
i 
„Es wird sich in diesem Falle ß oder 
u—b in eine Reihe nach ganzen positi- 
l 
— V 
veu Potenzen von = p(z — a) ent- 
i 
wickeln lassen, wo das mit multi- 
plicirte Glied nicht verschwindet.“ 
i 
B p 
Denn in jedem Falle wird j - “ 
das erste Glied der Entwickelung von ß 
sein. Nach dem in Abschnitt 21) Ge 
sagten ka: 
Potenzen v 
ser als p i 
nun q von 
falls eine E 
tenzen von 
und s eine 
lieh ist, w< 
Möge m 
wir in Gle 
ster Ordm 
wir den T 
1) ab, wo 
aus den 
len besteh 
Diesen Th 
z. B. 2, 1 
die Combi 
vorkommei 
-1,2- 
weder bei 
grösser si 
kommende 
gleich dei 
grösser ist 
Der TI 
alle Glied 
wenn die 
steigende ! 
eine aufsti 
in einem G 
sein würde 
dies Glied 
ist also; 
X=AßP+ 
Die Reihe 
während d 
— Man h 
drigster O 
thun, als i 
dem, und 
zu bilden, 
niedrigerer 
wenn ß al 
Potenz vc 
solche Kla 
zu setzen, 
die Gleich 
ciren ist. 
Sind nu