Quantität. 
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Quantität. 
sagten kann aber u sich nur nach 
% 
Potenzen von y (z, — a), wo q nicht grös 
ser als p ist, entwickeln lassen. Wäre 
nun q von p verschieden, so müsste, 
falls eine Entwickelung nach ganzen Po- 
i 
tenzen von a q stattfinden soll: 
und s eine ganze Zahl sein, was unmög 
lich ist, wenn q kleiner als p ist. 
Möge nun tj- beliebig sein, und suchen 
wir in Gleichung 1) die Glieder niedrig 
ster Ordnung. Zu dem Ende sondern 
wir den Theil des Ausdruckes links in 
1) ab, wo die Exponenten q und r die 
aus den kleinsten vorkommenden Zah 
len bestehenden Combinationen bilden. 
Diesen Theil nennen wir A. Sind also 
z. B. 2, 1 - 1, 2 -1, 3-3, 4-3,1-3,0 
die Combinationen, in denen q und r 
Vorkommen, so ist nur zu nehmen 2,1 
— 1, 2 — 3, 0, da in allen übrigen ent 
weder beide Zahlen der Combination 
grösser sind, als in einer der hier vor 
kommenden Verbindungen, oder die eine 
gleich der entsprechenden, die andere 
grösser ist. 
Der Theil A enthält dann jedenfalls 
alle Glieder niedrigster Ordnung, und 
wenn die zu ihnen gehörigen q eine ab 
steigende Reihe bilden, so werden die r 
eine aufsteigende bilden, weil ja sonst 
in einem Gliede beide Exponenten grösser 
sein würden als in dem vorhergehenden, 
dies Glied also nicht zu A gehörte. Es 
ist also; 
A = Aß P +A, ß P l a q 1 +A t ß Vi a q * 
4 . . . +A i a qt , 
Die Reihe p, p t , p 2 . . . fällt, 
während die Reihe q t . . . y. steigt. 
— Man hat nun, um die Glieder nie 
drigster Ordnung zu bilden, nichts zu 
thun, als aus A solche Klassen von Glie 
dern, und zwar auf alle möglichen Arten 
zu bilden, welche von gleicher und zwar 
niedrigerer Ordnung als die andern sind, 
wenn ß als eine (ganze oder gebrochene) 
Potenz von « betrachtet wird. Eine 
solche Klasse ist dann der Null gleich 
zu setzen, da für unendlich kleines « 
die Gleichung 1) derselben zu ädentifi- 
ciren ist. 
Sind nun: 
Pf 
Arß ' a 
und: 
p q 
A ß 9 ¿9 
9 
zwei Glieder niedrigster Ordnung, und ist: 
ß — xa p , 
so hat man: 
f*Pf+9f = f*P g +9 g > 
und für jedes andere Glied: 
V*-**. 
f*P h +V h ^f*Pf+9f 
Um diesen Bedingungen Anschaulich 
keit zu geben, gebrauchte Puiseux fol 
gende sinnreiche Construction. p^ und 
qi seien bezüglich Abscisse und Ordi 
nate eines Punktes (Fig. 82), so 
Fig. 82. 
dass Punkt M 0 auf der Abscissenaxe, 
v¥. auf der Ordinatenaxe, alle übrigen 
Punkte Mj, aber innerhalb des von den 
positiven Theilen beider Axen gebildeten 
Winkels liegen. Auch werden die Ver 
bindungslinien jeder zwei Punkte M^ 
und M^ beide Axen auf den positiven 
Seiten schneiden, und zwar aus dem 
Grunde, weil, wenn Pj^p^ ist, ( lh <q k 
sein muss. Mache nun Linie OM^ den 
Winkel d- mit der Axe der x, dann ist 
die Projection von OM k auf OM^ gege 
ben durch die Formel: 
p k cos»+q k sin 9, 
oder wenn man;