Quotient. 
791 
Quotient. 
3) Ermittelung der gemein 
schaftlichen Eactoren von Di 
videndus und Divisor. 
Die Bildung der Quotienten wird er 
leichtert, wenn Divisor und Dividendus 
einen gemeinschaftlichen Factor haben; 
nach Satz II. des ersten Abschnitts kann 
derselbe nämlich ohne Weiteres unter 
drückt werden. 
Man kann das Auffinden dieser ge 
meinschaftlichen Factoren durch Zerle 
gung von Divisor und Dividendus in 
ihre einfachen Factoren erreichen, wo 
dann die in beiden vorkommenden zu 
unterdrücken sind. 
Die gewöhnliche Methode, den gemein 
schaftlichen Factor zweier Zahlen zu fin 
den, ist nämlich hier nicht anwendbar, 
weil diese Methode ja eben die vollstän 
dig ausgeführte Division der grossem 
Zahl durch die kleinere als einen ersten 
Schritt voraussetzt. 
Zur Ermittelung der kleinern Facto 
ren einer Zahl: 
2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 
gibt es einfache Regeln, die wir hier 
mittheilen. 
I. Eine Zahl ist durch 2 theilbar, je 
nachdem ihre letzte Ziffer durch 2 theil 
bar ist oder nicht. 
Offenbar zerfällt jede Zahl 711 oder 
814 in eine durch 10 theilbare und in 
eine, die der letzten Ziffer gleich, also; 
711 = 710+1, 814 = 810+4. 
Das erste Glied dieser Summe ist immer 
durch 2 theilbar ist; je nachdem dies bei 
dem letzten Gliede stattfindet, ist es also 
bei der ganzen Zahl der Fall. 
II. Eine Zahl ist durch 4 theilbar, 
je nachdem die aus ihren beiden letzten 
Ziffern gebildete durch 4 theilbar ist 
oder nicht. 
Denn jede Zahl: 
7951 = 7900 + 51 
zerfällt in ein Vielfaches von 100 und 
in die aus ihren beiden letzten Ziffern 
gebildete Zahl. Da nun 100 durch 4 
theilbar ist, so kommt es nur auf die 
letztere Zahl an. 
III. Eine Zahl ist durch 8 theilbar, 
je nachdem die aus ihren drei letzten 
Ziffern gebildete Zahl durch 8 theilbar 
ist oder nicht. 
Dies ist ganz wie in I. und II. er 
sichtlich. Z. B.: 
793824 = 793000+824. 
Die erste durch 1000 theilbare Zahl muss 
es auch durch 8 sein; es kommt also 
auf 824 an. 
IV. Eine Zahl ist durch 3 oder durch 
9 theilbar, je nachdem die Quersumme, 
d. h. die Summe ihrer Ziffern, durch 3 
oder 9 theilbar ist oder nicht. 
Z. B. die Quersumme von 8792 ist: 
8 + 7 + 9+2=23, 
also die Zahl nicht durch 3 theilbar. 
6942 hat zur Quersumme 21, ist also 
durch 3, nicht aber durch 9 theilbar. 
7938 hat zur Quersumme 27, ist also 
durch 9 theilbar. 
Der Beweis ist leicht zu führen. Es 
ist z, B.: 
7938 = 7000+900+30 + 8 = 7 • 1000 
+9-100+3 -10+8. 
Die Potenzen von 10: 
10, 100, 1000 . . . 
sind gleich einer nur aus den Ziffern 9 
zusammengesetzten Zahl, vermehrt um 
die Einheit, also; 
10 = 9+1, 100 = 99+1, 1000 = 999+1, 
also demgemäss: 
7938 = 7 (999+1)+ 9 (99+1)+ 3 (9 + 1) 
+ 8 = 7 -999 + 9 • 99 + 3-9+7 + 9+3+8. 
Die letzten vier Zahlen geben die Quer 
summe von 7938. Da nun 9, 99, 999 . .. 
Vielfache von 9 sind, so setzt sich jede 
Zahl aus einem Vielfachen von 9, also 
auch von 3, vermehrt um die Quersumme, 
zusammen. Ist letztere auch durch 3 
oder 9 theilbar, so ist es somit die 
ganze Zahl. 
V. Eine Ziffer ist durch 10 theilbar, 
wenn sie mit einer Null endet. 
Offenbar endet jedes Vielfache von 10 
nämlich mit einer Null. 
VI. Eine Zahl ist durch 5 theilbar, 
wenn sie mit einer 5 oder 0 endet. 
Denn jede Zahl, z. B. 7935 oder 7937, 
kann man schreiben : 
7930+5, 7930+7, 
der erstere Theil ist durch 10, also auch 
durch 5 theilbar, der letztere einzifferige 
kann, wenn er durch 5 theilbar sein 
soll, nur 5 oder 0 sein. 
VII. Ob eine Zahl durch 11 theilbar 
sei, wird auf folgende Weise geprüft. — 
Man bildet die Quersumme der Ziffern 
von grader Ordnung und der von un- 
grader, die Ziffern von der Rechten zur 
Linken gezählt. Die erstere Summe 
wird von der zweiten abgezogen, nach 
dem man nöthigenfalls die letztere um 
ein Vielfaches von 11 vermehrt hat. 
Ist der Rest 0 oder durch 11 theilbar, 
so findet letzteres bei der ganzen Zahl 
statt.