Quadrat. Form (Zahlenlehre). 74 Quadrat. Form (Zahlenlehre). 
Quadrai 
Jedoch wollen wir hier noch einen 
Satz über Formen mit positiver Deter 
minante geben. 
29) Wir haben oben Abschnitt 15 ge 
sehen, dass für eine gegebene negative 
Determinante nur eine endliche Anzahl re- 
ducirter Formen möglich war. Wir wollen 
schliesslich diesen Satz noch für positive 
Determinanten beweisen. Es ist bei 
einer reducirten Form 
c^a^2b, 
also 
4i 2 ^ ac. 
Es kann also 
b 2 — ac — D 
nur dann positiv sein, wenn ac negativ 
ist, d. h. wenn a und c ungleiche Vor 
zeichen haben. Die reducirte Form hat 
also immer die Gestalt: 
ax 2 -\-2bxy — cij 2 , 
wo unter a und c Zahlen mit gleichem 
Vorzeichen, beide positiv oder beide ne 
gativ, verstanden sind, und die Deter 
minante ist: 
D — b 1 + ac; 
da 4b 2 ^=ac war, so ist dieser Ausdruck 
immer kleiner als oder höchstens gleich 
5b 2 , d. h. 
Setzt man also in 
D—b 2 —ac 
für b alle Werthe, 
die kleiner als 
sind, so müssen die entstehenden Werthe 
von J)—b 2 sich in 2 Factoren zerlegen 
lassen, und die Anzahl der reducirten 
Formen für die Determinante D kann 
nicht grösser sein, als die Anzahl der 
Arten, auf welche alle Ausdrücke von 
D—b 2 sich in 2 Factoren zerlegen las 
sen, ist also jedenfalls endlich. 
30) Die Theorie der quadratischen 
Formen hat ihren Ausgangspunct in der 
Auflösung der unbestimmten quadrati 
schen Gleichungen mit 2 Unbekannten 
durch ganze Zahlen genommen. Da es 
sich hierbei darum handelt, die Anzahl 
der Darstellungen einer ganzen Zahl 
durch eine quadratische Form, d. h. die 
Ar zahl der Wurzeln der Gleichung 
f{x, y) = 0, 
wo f(x, y) eine ganze algebraische Func 
tion zweiter Ordnung von x und y mit 
ganzen Coefficienten ist, zu übersehen, 
so ist diese Aufgabe Grund einer neuen 
Theorie geworden, so wie die Verein 
fachung dieser Gleichung auf die Trans 
formationsmethoden geführt hat. Als 
Schöpfer dieser Theorie ist La Grange 
zu betrachten, dessen Abhandlungen aus 
diesem Gebiete sich namentlich in den 
Denkschriften der Berliner Akademie 
finden. Das bis dahin Vorhandene hat 
Legendre in seiner „Théorie des nom 
bres“ (erste Ausgabe 1799, 3te von ihm 
noch selbst besorgte Ausgabe von 1833) 
gesammelt und erweitert. In dem be 
rühmten Werke von Gauss „disquisitio- 
nes arithmeticae“ (Erste Ausgabe von 
1801, jetzt neu erschienen, 1863, als 
Anfang der von der Göttinger Akademie 
besorgten Ausgabe von Gauss’s sämmt- 
lichen Werken) sind der Theorie der 
quadratischen Formen ganz neue Stand- 
puncte abgewonnen und durch die Sätze 
über Klasseneintheilung, Gruppen der 
Darstellungen u, s. w. diese Theorie im 
Gegensatz zur Behandlung der unbe 
stimmten quadratischen Gleichungen als 
eine selbständige Lehre hingestellt wor 
den. Einem Theil der Gaussischen Sätze 
ist durch Lejeune- Dirichlet ein neuer 
Standpunct abgewonnen worden, indem 
er auf sie Betrachtungen, die der Ana 
lysis entnommen waren, anwandte. Es 
gelang ihm dadurch die Gauss’schen 
Sätze auf eine minder abstracto Art zu 
beweisen, und dadurch im hohem Grade 
zum wissenschaftlichen Gemeingut zu 
machen , zugleich aber diese Theorie 
wesentlich zu erweitern. Seine Arbeiten 
in diesem Gebiete sind sowohl in den 
Abhandlungen der Berliner Akademie, 
namentlich aber auch in Crelle’s Journal 
für die reine und angewandte Mathema 
tik enthalten. 
Wir führen hier an: 
„Sur l'Usage des scries infinies dans la 
théorie des nombres“ (Creile Band 18, 
Seite 259), 
,,Recherches sur diverses applications de 
l'analyse infinitésimale, it la théorie 
des nombres : première partie (Creile 
Band 19, Seite 324), seconde partie 
(Band 21, Seite 1). 
Die von Dirichlet begründete Anwen 
dung der Analysis auf die Zahlentheorie 
hat in neuerer Zeit bedeutende Erweite 
rung gefunden, namentlich sind Kum 
mer, Liouville, Hcrmite auf diesem Felde 
thätig gewesen. 
Die Ausdehnung der Theorie der qua 
dratischen Formen auf Formen höheren 
Grades ist in neuester Zeit, namentlich 
durch Rummer’s berühmte Arbeiten er 
folgt. 
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