Quotient.
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Quotient.
Die letzte Division soll nämlich aufgehn. — Man hat also auch:
a = qb+r l , b = q l r l +r a , r l = q i r 2 +r 3 . . . r n _ 2 = q n _ 1 r n _ 1 + r n ,
71 — 1 '
q r
1 M Vi
q, q t , q 2 . . . q^ sind ganze Zahlen
oder ganze Functionen. Offenbar ist
dann r ein Factor von a und b, denn
n 7
da r . = q r , muss r ein Factor von
n— 1 n’ »l
r , sein; dar .r ,+r ,
71—l 7 w—2 *7i—1 n—t n
und r ein Factor von beiden Gliedern
71
rechts ist, so ist es auch ein Factor der
Summe und indem man so weiter
rückwärts geht, als Factor von q v 7\-\-r 2
wird r auch ein Factor von b, und als
71 7
Factor von qb-\-7\ auch ein solcher von
a sein.
Es können a und b aber auch keinen
grossem gemeinschaftlichen Factor als
r n haben, denn gäbe es einen ,solchen,
so müsste wegen a — qh-\-r\ oder
a—qb — 7\ denselben auch r t , wegen
b — q v 7\ = r 2 auch 7\ und so fort,
also auch r , und wegen »’ n _ 2
— q r . —7' auch r haben. Es
*71— 1 71—1 71 71
kann aber r keinen grossem Factor
71 °
haben, als diese Grösse selbst beträgt.
Ist r n = l> 80 ’ st 1 d er grösste gemein
schaftliche Factor von a und b, also kein
solcher vorhanden.
Beispiele.
Sei zu vereinfachen der Bruch:
1183693
1603182’
1183693 | 1603182 11
1183693
419489
419489 | 1183693 ) 2
838978
344715
344715 | 419489 | 1
344715
74774
74774 | 344715 I 4
299096
45619
45619 | 74774 | 1
45619
29155 |
| 45619 11
29155
16464
16464 |
29155 11
16464
12691
12691
| 16464 | 1
12691
3773
3773 j
[ 12691 | 3
11319
1372
1372
I 3773 i 2
2744
1029
1029 |
| 1372 | 1
1029
343
343 |
| 1029 1 3
1029
Zu bemerken ist, dass die Rechnung
ganz dieselbe ist, als die bei der Ver
wandlung in Kettenbrüche anzuwendende.
Sei ferner gegeben :
4135590
4311591’
4135590 | 431159111
4135590
176001
176001 1 4135590 | 23
352002
615570
528003
87567
87567 I 1760011 2
175134
867
867 | 87567 1 101
_867
867
867 ist der grösste gemeinschaftliche
Factor. In der That ist:
867 | 4135590 ) 4770
3468
6675
6069
6069
6069
29155
