Quadratische Gleichungen. 
76 Quadratische Gleichungen. 
168 = 3-»»+ 
n(n—1) 
~2~ 
•2 
oder 
n 2 -f 2rt = 168. 
Vergleichen wir diese Gleichung mit dem 
in 1) aufgestellten allgemeinen Schema, 
so ist 
p — 2, </=—168, 
also 
n = —l+]/i69 
und die beiden Werthc von n sind, da 
]/l69 = 13, 
ist 
n —12 und n——14. 
Man sieht aber, dass eine Reihe keine 
negative Anzahl von Gliedern haben 
kann, weshalb der Werth —14 hier zu 
verwerfen ist. 
Solche Wurzeln wurden früher auch 
„falsche Wurzeln der Gleichung “ ge 
nannt. Ihr Falsches bezieht sich indess 
keinesweges auf die Gleichung selbst, 
sondern nur auf die Aufgabe, welche 
zur Gleichung führte. 
Um aber auch ein Beispiel dafür zu 
geben, dass zuweilen beide Wurzeln zur 
vollständigen Lösung der Aufgabe nö- 
thig sind, wollen wir die bekannte geo 
metrische des goldenen Schnittes betrach 
ten : „Es ist von einer Linie ein Segment 
ahzuschneiden, welches die mittlere Pro 
portionale zwischen dem andern Segmente 
der Linie und dieser selbst ist.“ 
Fig. 9. 
Bezeichnen wir die Linie AB mitL«, 
das ahzuschneidende Segment AC mit'.r, 
so ist das andre Segment BC=m—x; 
es muss also sein: 
x 2 — m(m—x) 
oder: 
x 2 -\-mx—m 2 . 
Also wenn man in die Auflösungsfor 
meln : 
p=m, q ~—m 2 
setzt: 
also wenn man den Ausdruck unter dem 
Wurzelzeichen uragestaltet, ergeben sich 
die beiden Werthe von x: 
m . ,— 
x = -(|/ 5 _l) 
und 
*=-f (J/5+1). 
Da aber ]/ö> 1 ist, so übersieht man, 
dass der erste Werth von x positiv, der 
zweite negativ ist. Run scheint aller 
dings auf den ersten Blick der Begriff 
eines negativen Segments einer Linie 
keinen Sinn zu geben. Indess weiss 
man, dass wenn die Richtung einer Linie 
Fig. 10. 
von A nach B hin als positiv betrachtet 
wird, die entgegengesetzte von B nach 
A als negativ zu nehmen ist. Die ne 
gative Wurzel deutet also an, dass auch 
ein Stück AC in der entgegengesetzten 
Richtung, also in der Verlängerung von 
AB über A hinaus abgeschnitten werden 
kann, derart, dass 
AC 2 = AB- BC 
ist. Das andre Segment BC ist in die 
sem Falle grösser als die Linie AB. 
3) Betrachten wir jetzt die beiden 
Wurzeln der quadratischen Gleichung