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ratische Gleichungen. 
Quadratische Gleichungen. 
Quadratische Gleichungen. 
zahl von Gliedern haben 
lb der Werth —14 hier zu 
irzeln wurden früher auch 
rzeln der Gleichung “ ge- 
'alsches bezieht sich indess 
auf die Gleichung selbst, 
auf die Aufgabe, welche 
5 führte. 
auch ein Beispiel dafür zu 
¡uweilen beide Wurzeln zur 
Lösung der Aufgabe nö- 
ollcn wir die bekannte geo- 
i goldenen Schnittes betrach- 
von einer Linie ein Segment 
i, welches die mittlere Pro- 
ischen dem andern Segmente 
d dieser selbst ist.“ 
n umgestaltet, ergeben sich 
Berthe von ,r: 
m , ,— 
e = -g- C/S-X) 
= -f 
>1 ist, so übersieht man, 
:e Werth von x positiv, der 
iv ist. Nun scheint aller 
en ersten Blick der Begriff 
ven Segments einer Linie 
zu geben. Indess weiss 
enn die Richtung einer Linie 
IC 2 -AB-BC 
Ire Segment BC ist in die- 
isser als die Linie AB. 
iten wir jetzt die beiden 
quadratischen Gleichung 
etwas näher, p und q sollen reell sein. 
So lange q negativ ist, wird der Aus 
druck —q immer positiv sein, und 
dies ist noch der Fall, wenn 
(p\ 2 
q positiv, aber kleiner als 
ist, oder was dasselbe sagt, so lange 
p 2 >4<jf 
ist. Wird 
p 2 <4q, 
so ist der Ausdruck unter dem Wurzel 
zeichen negativ und die Wurzel selbst 
imaginär. 
Es hat also jede quadratische Glei 
chung entweder 2 reelle oder 2 imagi 
näre Wurzeln, je nachdem q analytisch 
genommen kleiner oder grösser als 
ist; in den ersten Fall sind nämlich die 
negativen Werthe von q mit inbegriffen. 
Uebertragen wir das Gesagte noch auf 
die Gleichung in ihrer ersten Gestalt: 
Ax 2 + Bx+C= 0, 
so ist für p, für q zu setzen, und 
A Al 
es hat die Gleichung reelle oder imagi 
näre Wurzeln, je nachdem 
C B 2 
-r- kleiner oder grösser als 7-7— 
A 4 A 2 
oder 
B 2 C 
iÄ 2 ~ ~Ä 
positiv oder negativ ist. Der letzte Aus 
druck ändert sein Zeichen nicht, wenn 
man ihn mit der immer positiven Grösse 
4A 2 multiplicirt, und es kommt daher 
auf das Zeichen von 
B 2 —4lAC 
an. 
Die Auflösung der quadratischen Glei 
chung hat Anlass zur Einführung des 
Imaginären in die Algebra und Analysis 
gegeben. Da nämlich viele Aufgaben, 
z. B. geometrische auf quadratische Glei 
chungen mit ganz unbestimmten Coeffi- 
cienten führen, so sieht man sich genö- 
thigt, diese Gleichungen aufzulösen, ohne 
zu wissen, ob sie zu reellen oder ima 
ginären Werthen führen. Wenn man 
nun mit den Werthen von x, die sieh 
durch diese Auflösung ergeben, weiter 
operirt, so kann es Vorkommen, dass 
man in der That mit imaginären Grös 
sen rechnet, auf welche man die Gesetze 
des Rechnens mit reellen Grössen eben 
überträgt. Das Resultat einer solchen 
Rechnung kann dann wieder reell sein, 
Wenn man z. B. die beiden Wurzeln 
der quadratischen Gleichung addirt, so 
kommt die reelle Grösse —p als Summe 
heraus. Es kann aber auch der Schluss 
der Rechnung zu einer imaginären Grösse 
führen, und im Falle z, B. einer geo 
metrischen Aufgabe, ist dies das Zeichen 
dafür, dass die gestellte Aufgabe zwar 
an sich nichts Widersinniges habe, dass 
aber die Zahlenwerthe, welche man den 
Raumgrössen gegeben, nicht derart sind, 
um ein Resultat möglich zu machen. 
In keinem Falle aber, sieht man, kann 
man sich des Rechnens mit imaginären 
Grössen entschlagen. 
4) Es ist noch zu erörtern, in welchen 
Fällen die Wurzeln - positiv und negativ 
sind. Wie in der Geometrie die imagi 
nären Grössen, so geben in andern Dis 
ciplinen die negativen keinen Sinn, wie 
z. B. in dem Falle, welchen wir in Ab 
schnitt 2) behandelten, wo es sich um 
eine Anzahl handelte. In solchen Fäl 
len ist also, je nachdem eine oder beide 
Lösungen negativ sind, die Aufgabe nur 
einer oder gar keiner Lösung fähig. 
Sei zunächst q positiv, aber kleiner als 
(ff 
so ist immer 
]/ (l) -? kleiner als 
ist also p negativ, so wird sowohl der 
Ausdruck 
als auch 
-Hd)’-* 
positiv sein, da der erste Ausdruck aus 
2 positiven Theilen besteht, im zweiten 
aber der positive Theil übei’wiegt, ist 
dagegen p positiv, so sind beide Aus 
drücke negativ, da im ersten der negative 
Theil überwiegt, im zweiten beide Theile 
negativ sind. 
Sei jetzt q negativ, so ist 
+q immer grösser als 
es ist also, wenn p positiv ist, in der 
ersten Wurzel der positive Theil über 
wiegend, in der letzten beide Theile ne 
gativ; ist p negativ, so sind in der ersten 
Wurzel beide Theile positiv, in der zwei 
ten der negative Theil überwiegend. Bei 
negativem q ist also immer die eine 
Wurzel negativ, die andre positiv, wie