ische Gleichungen. 
Quadratische Gleichungen. 85 Quadratische Gleichungen. 
>ker Gleichung versteht 
i algebraische Gleichung, 
urzcl x = « eine zweite 
ir reciproker Werth ent- 
-i x ~\~A n -o. 
iss diese Gleichung mit 
t-y+x+l^O 
in die Coefficienten der- 
i Factor in beiden Glei- 
. m m+1 . 
A x + A x + 
77V 77V —1 
. +A 2 x i +A l x+1 = 0, 
A aT +l + Ä x’ + 
771 77V 
. -pAjX^AjX+l-O, 
gleich weit von beiden 
öl 
igen die Form: 
_ 2 m 2m—1 2m—2 . . 
III. x 4- A\x 4- A 2 x + . . . 4-A 
m—2 
A x — 
m-2 
m+i 
m—1 
A x 
m—1 
m—1 
-A 2 x 2 —A l x—1 = 0. 
Es fällt das mittlere Glied weg, und die von den Enden gleich weit entfernten 
Coefficienten haben gleichen Zahlenwerth, aber entgegengesetzte Vorzeichen. 
Ist n endlich von der Form 2m+l, so findet die Beziehung für den Coeffi- 
cientcn des mittleren Gliedes nicht statt, und es ist 
2w_.pl 2/n . 2 m—1 
IV. x + A v x -f-A 2 x + . 
• + A 
<i—1 
7?V“|-2 . 771-4-1 77V 
c + A x + A x — 
- ... -A, 
-A v x—1 = 0. 
Es ist also eine reciproke Gleichung 10) Es lässt sich nun zeigen, dass 
leicht zu erkennen. Es müssen nämlich durch Auflösung quadratischer Gleichung 
in derselben immer die von den Enden jede reciproke Gleichung auf eine Form 
gleich weit entfernten Glieder numerisch gebracht werden kann, worin ihr Grad 
gleich sein und entweder alle bezüglich höchstens die Hälfte des ursprünglichen 
dasselbe, oder alle das entgegengesetzte ist. 
Vorzeichen haben. Ist die Ordnung der Setzen wir, um dies zu beweisen, zu- 
Gleichung eine grade Zahl, und findet nächst Fall I. voraus, wo die entspre- 
der zweite Fall statt, so muss ausserdem chenden Coefficienten der Gleichung glei- 
das mittlere Glied fehlen. Diese Bedin- ches Zeichen haben, und die Ordnungs 
gungen sind dafür, dass die Gleichung zahl grade ist. Dann lässt sich die 
reciprok sei, offenbar ausreichend und Gleichung auf die Form bringen: 
nothwendig. 
m m—i . m— 2 . 
X + A t x + A 2 x -f . . . 4-A 
x+A 4- A x 
-1 77V 77V-fl 
+A „+t* 8+ -- 
. —(77V—1) —77V 
. . . 4-A t x +x =0 
oder: 
-1 
m —m m—1 —(in—1). , . . m—2 —(in—2) 
x +x + A v (x +x )4-A 2 (x +x )+ . . 
. . , +A .(x+x *)4-A =0. 
in—1 m 
Es wird eine neue Unbekannte 
z = x+x 
eingeführt, und man hat, wie sich leicht aus dem binomischen Satze ergibt; 
z 2 = x 2 +x~ 2 +2, 
z 3 =x 3 4-X~ 3 +3(x+), 
a 4 = x 4 +x~ 4 4-4(x 2 +x~ 2 )4-6 . . . 
,2m 
= x 2m +x~ 2m + 2m (x 2m ~ 2 4- X~(2" t ~2)) 4- 2>»(2wpl) (<r 2«-4 +iC -(2m-4) )+ 
, 2m(2m—1) . . . (w4-2) , 2 , 2m(2m—1) . . . (ni4-l) 
• • • 4 =— (x +x ) 4 — 
1-2 m —1 ' ' 
1-2 
+ 
a 2m+l _ x 2m+l _j_ x -(2m+i) + ßm +1) (x 2m ~ i + x“ (2m_1) ) 
(2tn+l)2m ^. 2 m-3 _ x -(2m-3) ) + . 1 + ' ‘ ‘ ( x 3 [ j.—+ 
1-2 
(2«+l)8» . . . (*+2) i 
1*2 7 n 
I 2 2 3 3 
Aus diesen Formeln lässt sich auf recurrentem Wege x+x , x +x , x +x 
. . . durch a bestimmen. Es ist nämlich; 
in :