Addition und Subtraktion. 
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anderes als die Diagonalen der Parallelogramme, gebildet ans A 
und i3, resp. aus % und — ß. 
Daß es in (l) und (2) auf die Reihenfolge der Glieder nicht 
ankommt, ersieht man sofort aus Fig. 2. Wir können deshalb all 
gemein schreiben 
(3) 31 + 1S = H^ 
d. b. das kommutative Gesetz behält seine Gültigkeit bei der 
Addition und Subtraktion von Vektoren. 
Die Beziehungen (l) bis (3) sind leicht auf eine beliebige An 
zahl von Vektoren zu erweitern Denn je zwei Vektoren können 
zu einem vereinigt werden und demzufolge nacheinander alle Vek 
toren durch einen einzigen dargestellt werden. Da es hierbei, wie 
leicht aus der geometrischen Konstruktion zu ersehen ist, auf die 
Gruppierung der Vektoren untereinander nicht 
ankommt, so können wir z. B. für drei Vek 
toren die Identität schreiben 
(4) A + [ß + ®) = (3C + ß) + C. 
Diese Gleichung drückt die Gültigkeit des 
assoziativen Gesetzes aus. 
Fügt man eine beliebige Anzahl von Vek 
toren so zusammen, daß der Anfang des einen 
mit dem Ende des andern zusammenfällt, so folgt aus (1) bis (4), 
daß die Strecke, welche den Anfangspunkt des ersten Vektors mit 
dem Endpunkt des letzten verbindet, nach Größe und Richtung 
gleich sein wird der Summe der gegebenen Vektoren. Da man jeden 
der zu addierenden Vektoren beliebig klein nehmen kann, so er 
hellt hieraus ohne weiteres die Bedeutung des Integrals 
b 
(5) X =fdl, 
wo d l eines der gerichteten Linieneleraente einer beliebigen Raum 
kurve bedeutet. Dieser Vektor A ist nichts anderes als ein Vektor, 
der die beiden Endpunkte a und h der gegebenen Kurve verbindet. 
Ist die Kurve geschlossen, so folgt unmittelbar 
a 
(6) % =fdl = Jdi = 0. 
a L 
Hierbei bedeutet X, wie später stets in diesem Buche, 
eine geschlossene Kurve. 
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