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I. Elementare Vektoroperationen. 
Für diesen Fall bestimmen wir das skalare Produkt des Inte 
grals € mit einem konstanten Einheitsvektor a 0 , d. h. 
(b) A == o 0 c =/a 0 d f. 
F 
Dabei haben wir den konstanten Vektor a 0 unter das Integral 
zeichen setzen können. A bedeutet nichts anderes, als die Summe 
der skalaren Produkte der einzelnen df mit n 0 , oder laut (ll) 
die Summe der Projektionen der einzelnen Flächenelemente der 
geschlossenen Fläche F auf eine zu a 0 senkrechte Ebene. 
Konstruieren wir einen Zylinder, dessen Erzeugende senkrecht 
zur genannten Ebene ist und die Oberfläche F tangiert, so schneidet 
der Zylinder aus dieser Ebene dasjenige Stück heraus, welches 
gerade mit den Projektionen von den elf belegt wird. Diese Be 
legung wird aber eine doppelte sein und von entgegengesetztem 
Vorzeichen, da wir als positive Normale die äußere angenommen 
haben und infolgedessen als positive Seite der Flächenelemente 
df die äußere Seite. Deshalb wird das Integral (b) gleich Null 
sein für eine beliebige geschlos- 
C sene Oberfläche F. Da aber die 
Richtung von a 0 und demnach 
auch die Lage der entsprechen 
den Ebene vollkommen willkür 
lich ist, so müssen wir hieraus 
schließen, daß auch allgemein 
(19) fdf — 0 
sein wird, falls F eine geschlos 
sene Oberfläche bedeutet. 
Wir konstruieren aus den drei nicht komplanaren Vektoren 
11, 5t, ß ein Prisma Fig. 7, dessen Kanten BB\ CG' und AA' 
gleich und parallel 11 sind, und wenden auf die Oberfläche dieses 
Prismas die Gleichung (19) au. Der Teil des Integrals (19), der 
sich auf die beiden Flächen ABC und A'B'C' bezieht, ver 
schwindet, da diese Flächen parallel und gleich groß sind und ent 
gegengesetzte Normalen haben. Wir erhalten deshalb 
0) 
fdf+jdf+/df~0. 
ABB'A’ BCCB’ CAA'C