II. DifFerentialoperationen. 
selbe findet statt, falls 2t parallel ß oder € ist. Also ist für 2t, 
ß, (£ parallel einer Ebene: 
(32) 2t[lBö£j — 0. 
Kapitel II. 
Differential Operationen. 
6. Differentiale von Vektoren und von Produkten von 
Vektoren. Um den Begriff des Differentials eines Vektors zu er 
leichtern, greifen wir zu einigen Beispielen aus der Physik. Es 
sei z. B. 2t eine Kraft, welche an einer Stelle eines Körpers wirkt. 
Diese Kraft kann sich mit der Zeit in ihrem Betrage und in ihrer 
Richtung ändern. Es soll weiter ein Vektor die Geschwindigkeit 
eines Massenteilchens einer bewegten Flüssigkeit verstellen. Hierbei 
wird der Vektor an verschiedenen Teilen verschieden sein. Aus 
diesen Beispielen müssen wir schließen, daß sich im allgemeinen 
ein Vektor mit der Zeit und mit dem Ort ändert, d. h. wir müssen 
einen Vektor als Zeit- und Ortsfunktion ansehen. 
Um die Veränderung eines Vektors mit der Zeit und dem Ort 
verfolgen zu können, führen wir den Begriff des Feldes ein, welcher 
der Elektrizitätslehre entnommen ist; und zwar wollen wir unter 
einem Vektorfeld einen Raum verstehen, wo jedem Punkt ein 
bestimmter Vektor zugeordnet ist. Ganz analog wird sich auch 
ein skalares Feld definieren lassen. Wir wollen im allgemeinen 
annehmen, daß ein Feld von derZeit und von anderen Parametern 
abhängen kann. 
Auf die nähere Untersuchung der Felder gedenken wir später 
(Kap. VI) einzugehen. An dieser Stelle haben wir die Felder 
lediglich deshalb eingeführt, um den Begriff eines Vektordifferentials 
zu erleichtern. Wir wollen uns jetzt klar machen, was wir unter 
einem solchen zu verstehen haben. 
Gegeben sei ein Vektor 2t, den wir im allgemeinsten Fall als 
veränderlich mit dem Ort und der Zeit und als abhängig von anderen 
Parametern ansehen müssen. Wir nehmen an, der Vektor 2t erleide 
eine unendlich kleine Änderung und gehe über in 2CDie Änderung 
selbst werden wir, in Analogie mit der Schreibweise der gewöhnlichen 
Analysis, durch d21 bezeichnen. Dem Sinne des .Vorhergehenden 
entsprechend, müssen wir annehmen, daß (22t sich nicht nur auf