22 
II. Differentialoperationen. 
Um uns die Bedeutung von (57) klar zu machen, nehmen 
wir als Volumen V einen Zylinder, dessen Erzeugende parallel 
der Richtung von Z im Punkte P ist. Die Grund- und End 
fläche mögen senkrecht zu dieser Richtung sein (Fig. 11). Da Z 
bei der Integration als konstant zu betrachten ist, so wird für die 
Mantelfläche Zdf = 0 sein. 
Für die Grundfläche, welche durch P geht, ist 
'U Zdf-ß = — \Z\df-ß 
)df 
und für die Endfläche wegen (33) 
Zdf-ß' - Z\df(ß -f dß). 
w 
Mg 11. 
Die Summe ergibt das gesuchte Oberflächenintegral. 
Teilen wir es durch das Volumen V = dfda, wo da 
den Betrag eines Linienelements in der Richtung des Vektors Z 
im Punkte P bedeutet, so wird: 
diB 
(59) 
(av)<i = a 
da 
d. h. der Ausdruck (57) ist nichts anderes als die auf die Längen 
einheit bezogene Änderung von ß in derjenigen Richtung, die 
dem Vektor Z im Punkte P entspricht, multipliziert mit dem 
Betrag, den Z im Punkte P annimrat. 
Hierdurch erscheint die eingeführfe Benennung „vektorieller 
Differentialquotient“ vollkommen berechtigt. Zugleich ist durch (59) 
die im Anfang von Nr. 8 gesuchte Beziehung bestimmt. 
Wir wollen jetzt den Ausdruck 
fdfZ ■ ß 
(60) V Z ■ ß — lim 
V—0 
bestimmen. Da hier Z hinter dem Operator V steht, so ist es bei 
der Integration als variabel zu betrachten. Bezeichnen wir durch Z t 
und ß x die Werte von Z und ß für einen festen Punkt inner 
halb V, so erhalten wir, mit Rücksicht auf (52), analog (53), unter 
Vernachlässigung kleiner Größen höherer Ordnung: 
fdfZ-ß x