58 RÉCIPROQUES 
b', c’, les côtés homologues clans le triangle T, on aura par 
hypothèse : 
(i) T : T' : : à 2 ; a' 2 , 
(a) T : T' : : : b'*, 
(3) T : T' : : c 1 : c' a . 
Les proportions (i), (2), (3) ayant un rapport commun 
T : T', on en conclut la suite de rapports égaux : 
a 2 : a' 2 : : b 2 : b 12 : : c 2 : c' 2 ; 
d’où a : a! : : h : h' : : c : c. 
Les triangles T et T' sont donc semblables comme ayant 
leurs côtés homologues proportionnels. 
PROPOSITION XXVII. 
RÉCIPROQUE (*). 
La réciproque de cette proposition est évidemment 
fausse. 
PROPOSITION XXYII. (Corollaire.) 
RÉCIPROQUE. 
Si sur les côtés d’un triangle on a trois polygones 
semblables P, Q, R. et tels que le polygone P soit 
équivalent à la somme Q -P R des deux autres, le 
triangle sera rectangle, et le polygone P sera construit 
sur l’hypoténuse de ce triangle. 
Car soient a, h, c, les trois côtés du triangle, on aura 
(Prop. XXYII, liv. III) : 
(1) P:Q::a 2 :Æ 2 , 
(2) R : Q: : b 2 :c 2 -, 
d’où (3) R -h Q : Q : : b 2 +c 2 ; b 2 . 
Or, Q-+-R=P; donc les deux proportions (1) et (3) ayant 
trois termes égaux, les quatrièmes le sont de part et d’autre; 
donc a 2 =b 2 -y c 2 .