Full text: Calcul intégral, integrales définies et indéfinies (Tome 2)

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DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 
CHAPITRE III. 
INTÉGRALES MULTIPLES. 
l!21. Considérons une surface dont l’ordonnée z = 
soit une fonction uniformément continue de x, y pour tous 
ceux de ses points qui se projettent sur le plan des xy dans 
une région donnée R, d’étendue finie. On pourra, par défini 
tion, quelque petite que soit la quantité s, déterminer une 
seconde quantité r t , indépendante de x et de jk, et telle que 
l’on ait, dans toute la région considérée, 
mod[/0 + /i,y~hk) —f{x,y)] <£, 
tant que h et k ne surpasseront pas tj en valeur absolue. 
Partageons cette région d’une manière quelconque en 
divers compartiments. Multiplions l’aire At de chacun d’eux 
par la valeur f{x, y) de l’ordonnée correspondant à un 
point arbitraire (x,jk) situé dans son intérieur, et formons la 
somme 
V(^J) 
de tons ces résultats. 
Si nous multiplions le nombre des compartiments, de telle 
sorte que les dimensions de chacun d’eux décroissent indéfi 
niment, la somme ci-dessus tendra vers une limite indépen 
dante du mode de division adopté et du choix des ordonnées. 
Considérons, en effet, deux modes de division distincts, et 
admettons cpie les compartiments aient été de part et d’autre 
assez multipliés pour que leurs dimensions, tant dans le sens 
de 
le 
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