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DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
CHAPITRE III.
INTÉGRALES MULTIPLES.
l!21. Considérons une surface dont l’ordonnée z =
soit une fonction uniformément continue de x, y pour tous
ceux de ses points qui se projettent sur le plan des xy dans
une région donnée R, d’étendue finie. On pourra, par défini
tion, quelque petite que soit la quantité s, déterminer une
seconde quantité r t , indépendante de x et de jk, et telle que
l’on ait, dans toute la région considérée,
mod[/0 + /i,y~hk) —f{x,y)] <£,
tant que h et k ne surpasseront pas tj en valeur absolue.
Partageons cette région d’une manière quelconque en
divers compartiments. Multiplions l’aire At de chacun d’eux
par la valeur f{x, y) de l’ordonnée correspondant à un
point arbitraire (x,jk) situé dans son intérieur, et formons la
somme
V(^J)
de tons ces résultats.
Si nous multiplions le nombre des compartiments, de telle
sorte que les dimensions de chacun d’eux décroissent indéfi
niment, la somme ci-dessus tendra vers une limite indépen
dante du mode de division adopté et du choix des ordonnées.
Considérons, en effet, deux modes de division distincts, et
admettons cpie les compartiments aient été de part et d’autre
assez multipliés pour que leurs dimensions, tant dans le sens
de
le
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