INTÉGRALES MULTIPLES. 
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vers une limite déterminée, évidemment indépendante de 
l’ordre suivant lequel les diverses portions de la région r 
seront successivement ajoutées à la région R. (Car une somme 
de quantités positives ne varie pas quand on y change l’ordre 
des termes.) Leur différence S R s dy tendra donc également 
vers une limite parfaitement déterminée. 
Si l’une des sommes S^ dy, S R 5 2 dy tend vers une limite 
finie, et l’autre vers l’infini, leur différence S R ^c/a- tendra 
vers l’infini, positif ou négatif. 
Enfin, si les deux sommes tendent chacune vers l’infini, 
S r gc/c7 sera complètement indéterminée; car, suivant la 
manière dont on fait croître la région R aux dépens de r, on 
pourra faire croître, à volonté et indépendamment l’une de 
l’autre, les deux sommes S R £, dy et S R s 2 dy. 
La condition nécessaire et suffisante pour que notre défi 
nition soit acceptable est donc que les deux intégrales S R -s< dy 
et S R ^o d? tendent chacune vers une limite finie ; autrement 
dit, que leur somme 
Sft(^i + -Cg) d<y = S R (mod.s) da 
tende vers une limite finie. 
Celle dernière intégrale ayant d’ailleurs tous ses éléments 
positifs, sa limite sera évidemment indépendante de la forme 
de la région /*, laquelle pourra être choisie dans chaque cas 
de la manière la plus avantageuse pour la discussion. 
149. Parmi les cas où l’intégrale des modules reste finie, 
on peut citer particulièrement les suivants : 
i° Supposons que s devienne infini en un point O, mais 
de telle sorte que, dans l’intérieur d’un certain cercle ayant ce 
point pour centre, on ait constamment mod,s< —, A étant 
une constante, p la distance du point {x,y) au point O, et 
a un exposant inférieur à 2. 
Soient C (fi g. 22) le cercle donné, a son rayon. L’inté 
grale comprise entre K et C a une valeur nettement déter