154 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 
vers la limite finie 
2 TT A I 
a — 2 a a ~ 2 
15i. Nous avons démontré l’égalité 
f dx Jfi x ,.r) dy = ^dy J'f{x,y)dx, 
le champ d intégration étant supposé le même dans les deux 
membres. 
Cette proposition fondamentale a été établie en montrant 
que les deux expressions ci-dessus représentent toutes deux 
l’intégrale double 
S J\ x, y) de 
relative au champ considéré. 
Cette intégrale double peut ne présenter aucun sens, si 
./ i,T) devient infini dans l’intérieur dn champ, ou si ce 
champ lui-même devient infini. Le théorème que nous venons 
de rappeler cesserait dans ce cas d’être démontré. Nous allons 
faire voir, par un exemple important, qu’il peut effectivement 
être en défaut. 
io2. Considérons la fonction 
A x m -f- B x" 1 - 1 ... -+- K x -f- L, 
A, B, ..., K, L étant des constantes, que nous supposerons 
réelles pour plus de simplicité. 
Posons 
X — p( coso -t- i sincp ). 
La fonction prendra la forme 
P + Q*, 
en faisant, pour abréger, 
P —' Ap" 1 cosm H- Bp w_1 cos(m — i) cp Ivp cosep -f- L, 
Q — Ap m sin m <p -t- B p'«- 1 sia {m — i ) cp ...-+- Kp sin o.