DES FONCTIONS REPRÉSENTÉES PAR DES INTÉGRALES DÉFINIES. l5g 
156. Différentiation par rapport cl un paramètre. — 
Proposons-nous maintenant de trouver la dérivée de l’inté- 
grale 
1=/ a ) dx, 
par rapport au paramètre a, en supposant : 
i° Que les limites a et b sont des constantes finies, indé 
pendantes de a ; 
2° Que la fonction f t {x, t) soit continue par rapport aux 
deux variables x et t, lorsque x varie de a et h, et t dans un 
intervalle fini, aussi petit, d’ailleurs qu’on voudra, mais com 
prenant dans son intérieur la valeur particulière t = a. 
Donnons à a un accroissement infiniment petit h ; on 
aura 
d\ 
-j- — Jim 
«a /i = 0 
J r*'* z'» v 
i f{x, a -t- h) dx — / f{x 7 a.) da 
a a 
= lim F'/(*.« +A> 
J a 
— lim / /^,a + û/i) dx, 
J a 
B étant une fonction de x, toujours comprise entre o et i. 
En vertu de l’hypothèse faite sur la continuité de la dé 
rivée f\, on aura 
fi{x, a 4-0h) —f' a {x, a) 4- e, 
s décroissant indéfiniment avec h, quel que soit x. On aura 
donc 
d\ 
da 
J r* b /-* b 
fL{x, a) dx 4- lim / s dx. 
a ” a 
Mais l’intégrale f edx a pour limite supérieure de son 
J a 
module rj mod(Z> — a), r\ désignant le maximum du module 
I