DES FONCTIONS REPRÉSENTÉES PAR DES INTÉGRALES DÉFINIES. J 6 I 
J 1 
J. 
Cours, II. 
Celte inégalité restera vraie à la limite pour h = o; et, si 
maintenant nous faisons tendre p vers ce , nous obtiendrons 
zéro pour limite. 
J59. Supposons, enfin, que la fonction dérivée f'Ax,t) 
devienne discontinue pour certains systèmes de valeurs de x 
et de t respectivement compris entre a et b et entre a 0 et a t . 
La valeur t = a étant supposée comprise entre a 0 et a,, dé 
composons le champ d’intégration en deux, parties 11 et IV, 
dont la seconde comprenne toutes les valeurs de x qui, asso 
ciées à des valeurs de t comprises entre a 0 et a,, rendent 
fi {x, ¿) discontinue. On aura 
/(x, a -+- h) — /'(x, a) 
h 
dx. 
Si h tend vers zéro, on pourra faire converger vers a les 
deux, quantités a 0 et a,, qui sont assujetties à la seule condi 
tion de renfermer entre elles a et a + h. Accroissons en même 
temps la région 11 aux dépens de la région IV autant que cela 
pourra se faire, en respectant les conditions qui les définis 
sent. Admettons (ce qui aura généralement lieu) que l’éten 
due de la région R', ainsi réduite, décroisse indéfiniment. 
L’intégrale f-if-dx tendra, par définition, vers / ~dx, 
Jn ,1 ô* 
cl la règle de dérivation sous le signe / sera applicable si 
ir 1 1, , • r f{x, n. -x- /,) — f(, v a ) 
J integrate complementaire I — - —!—' dx tend 
t/R'