§ 26. Der Pascalsche Satz.
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Punkt X ist durch die Geraden aß und öe, der Punkt v durch
ctg (— ae) und yd bestimmt. Demnach findet man ¡i durch den
Schnitt der Geraden ßy und Xv, und die Gerade £fi ist die Tan
gente in £.
4. Wir haben vorhin nur angenommen, dafs die sechs Punkte
a, ß, /, 6, s, g auf einem Kegelschnitte liegen. Zu der Pascalschen
Geraden X[iv sind wir aber gelangt, indem wir die Punkte in
der Reihenfolge a, ß, y, 6, e, g zu einem Sechseck verbanden.
Bei Änderung der Reihenfolge ändern sich die Pascalschen Sechs
ecke und die Pascalschen Linien; aber der Kegelschnitt bleibt
ungeändert. Alle Sechsecke, welche aus einem Pascalschen Sechs
eck durch Umänderung der Reihenfolge der Eckpunkte hergeleitet
werden können, sind ebenfalls Pascalsche Sechsecke. Zwischen
den Seiten und den Pascalschen Linien all dieser Sechsecke
müssen überaus zahlreiche Beziehungen statthaben, und alle diese
müssen blofse Folgerungen daraus sein, dafs ein einziges dieser
Sechsecke ein Pascalsches ist. Aus diesem Grunde nennt man
ein solches Sechseck auch ein Hexagrammum mysticum.
5. Die Zahl der Sechsecke, welche dieselben sechs Eckpunkte
besitzen, beträgt sechzig. Bei der Bezeichnung eines Sechsecks
können wir von einem beliebigen Punkte ausgehen und dann die
übrigen Punkte noch in zwei einander entgegengesetzten Folgen
an einander reihen. Da wir in unserm Falle stets den Punkt a
an die erste Stelle setzen können und dann die Bezeichnungen
aßyötC, und a&öyß dasselbe Sechseck liefern, hat man, um die
verschiedenen Sechsecke zu finden, die Permutationen der fünf
Marken ß, /, 6, s, g zu bilden und entgegengesetzte Folgen nicht
zu unterscheiden. Somit ist die Zahl der verschiedenen Sechsecke
gleich sechzig; ebenso grofs mufs die Zahl der zugehörigen Pas
calschen Linien sein.
Die vollständige Figur, zu der sechs Punkte eines Kegel
schnitts gehören, enthält sechzig Sechsecke und sechzig Pascalsche
Linien. Wir wollen nur einige besonders einfache Eigenschaften
dieser Figur herleiten.
6. Damit die sechs geraden Linien a, b, c, a', b, c' in der
angegebenen Folge ein Pascalsches Sechseck bilden, müssen sich
die drei Geradenpaare a und a', b und b', c und c in drei Punkten
einer Pascalschen Linie schneiden. Die Reihenfolge der Eckpunkte