Full text: Die ebene Geometrie (1. Teil)

§ 26. Der Pascalsche Satz. 
175 
Punkt X ist durch die Geraden aß und öe, der Punkt v durch 
ctg (— ae) und yd bestimmt. Demnach findet man ¡i durch den 
Schnitt der Geraden ßy und Xv, und die Gerade £fi ist die Tan 
gente in £. 
4. Wir haben vorhin nur angenommen, dafs die sechs Punkte 
a, ß, /, 6, s, g auf einem Kegelschnitte liegen. Zu der Pascalschen 
Geraden X[iv sind wir aber gelangt, indem wir die Punkte in 
der Reihenfolge a, ß, y, 6, e, g zu einem Sechseck verbanden. 
Bei Änderung der Reihenfolge ändern sich die Pascalschen Sechs 
ecke und die Pascalschen Linien; aber der Kegelschnitt bleibt 
ungeändert. Alle Sechsecke, welche aus einem Pascalschen Sechs 
eck durch Umänderung der Reihenfolge der Eckpunkte hergeleitet 
werden können, sind ebenfalls Pascalsche Sechsecke. Zwischen 
den Seiten und den Pascalschen Linien all dieser Sechsecke 
müssen überaus zahlreiche Beziehungen statthaben, und alle diese 
müssen blofse Folgerungen daraus sein, dafs ein einziges dieser 
Sechsecke ein Pascalsches ist. Aus diesem Grunde nennt man 
ein solches Sechseck auch ein Hexagrammum mysticum. 
5. Die Zahl der Sechsecke, welche dieselben sechs Eckpunkte 
besitzen, beträgt sechzig. Bei der Bezeichnung eines Sechsecks 
können wir von einem beliebigen Punkte ausgehen und dann die 
übrigen Punkte noch in zwei einander entgegengesetzten Folgen 
an einander reihen. Da wir in unserm Falle stets den Punkt a 
an die erste Stelle setzen können und dann die Bezeichnungen 
aßyötC, und a&öyß dasselbe Sechseck liefern, hat man, um die 
verschiedenen Sechsecke zu finden, die Permutationen der fünf 
Marken ß, /, 6, s, g zu bilden und entgegengesetzte Folgen nicht 
zu unterscheiden. Somit ist die Zahl der verschiedenen Sechsecke 
gleich sechzig; ebenso grofs mufs die Zahl der zugehörigen Pas 
calschen Linien sein. 
Die vollständige Figur, zu der sechs Punkte eines Kegel 
schnitts gehören, enthält sechzig Sechsecke und sechzig Pascalsche 
Linien. Wir wollen nur einige besonders einfache Eigenschaften 
dieser Figur herleiten. 
6. Damit die sechs geraden Linien a, b, c, a', b, c' in der 
angegebenen Folge ein Pascalsches Sechseck bilden, müssen sich 
die drei Geradenpaare a und a', b und b', c und c in drei Punkten 
einer Pascalschen Linie schneiden. Die Reihenfolge der Eckpunkte
	        
Waiting...

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.