§ 4. Der Kreis. J9. 20. 
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8) n> + au + bvj = w (iß- + a'u + h'vj 
einen Punkt dar, in welchem sich zwei gemeinschaftliche Tan 
genten der beiden Kreise schneiden. Die Gleichung 7) lehrt, 
dass jede gerade Linie, welche durch diesen Punkt hindurch 
geht, beide Kreise unter gleichen Winkeln schneidet (Ahn- 
lichkeitspnnkt der beiden Kreise). 
Diejenige gerade Linie, welche durch die Werte (f, u, v) 
dargestellt wird, wird auch durch die Werte (— t, — u, — v) 
dargestellt. Demnach wird derselbe Kreis dargestellt, wenn 
man in der Gleichung 5) das Zeichen von n in das entgegen 
gesetzte verwandelt. Somit stellt die Gleichung: 
n 1 + + bv) = — n (-jj- + a 'u + 
einen zweiten Ähnlichkeitspunkt der beiden Kreise dar. 
die Mittelpunkte der Kreise die Gleichungen haben: 
et 
Ir 
+ au + hv = 0 
und 
e't 
1c 2 
-f- a'u h 1 v — 0, 
Da 
so liegen die Ähnlichkeitspunkte auf der Centrale und zu 
den Mittelpunkten harmonisch. 
20. In der Riemannschen Ebene hat jeder Kreis zwei 
Mittelpunkte, welche Gegenpunkte von einander sind; der 
Radius, welcher dem einen Mittelpunkte entspricht, ergänzt 
den zu dem andern Mittelpunkt gehörigen Radius zu kir. 
Alle Punkte des Kreises haben von der absoluten Polare des 
Mittelpunktes gleichen Abstand. Wie auch immer e, a, h in 
der Gleichung 1) gewählt sind, wird das dargestellte Gebilde 
zwei Mittelpunkte und eine Gerade gleichen Abstandes be 
sitzen. Zwei Kreise haben höchstens zwei Punkte mit ein 
ander gemeinschaftlich. 
In der Polarform der Riemannschen Ebene hat jeder 
Kreis nur einen Mittelpunkt. Aber weil hier die Entfernung 
r mit der Entfernung kn — r zusammenfällt, so wird der 
durch die Gleichung 1) dargestellte Kreis auch erhalten, wenn 
man m durch — m ersetzt. Demnach haben zwei Kreise zwei 
Potenzlinien und vier Schnittpunkte, welche paarweise gegen 
die Centrale symmetrisch liegen. Die Potenzlinien liegen 
Killing, Nicht-Euklidische Kaumformen. 3