34 Erster Abschnitt: Der Kaum von drei Dimensionen 
harmonisch zu den absoluten Polaren der Mittelpunkte. Die 
übrigen im vorigen Artikel entwickelten Sätze behalten ihre 
Gültigkeit. Auch verdient bemerkt zu werden, dass, solange 
die Radien der Kreise und der Abstand ihrer Mittelpunkte 
eine gewisse Grenze nicht überschreiten, höchstens zwei 
Schnittpunkte reell sind, da alsdann eine Potenzlinie die 
Kreise nicht schneidet. 
21. Die in Art. 19 zusammengestellten Resultate sind rein 
analytisch aus der Gleichung 1) gewonnen, gelten also auch 
unabhängig von der geometrischen Eigenschaft, von welcher 
wir ausgegangen sind. Soll nun in der Lobatschewsky- 
schen Ebene die Gleichung 1) die Gesamtheit der Punkte 
darstellen, welche von einem festen Punkte gleichen Abstand 
haben, so muss yg +a 2 +5 2 <0 sein; dann wird die abso- 
rv 
lute Polare dieses Punktes imaginär, und es gieht keine reelle 
Gerade, von welcher die Punkte gleichen Abstand haben. 
Wenn dagegen 
-^2 + « 2 -f- & 2 > 0 
ist, so hat die Linie die Eigenschaft, dass alle ihre Punkte 
von einer Geraden gleichen Abstand haben; die Koordinaten 
dieser Geraden sind proportional e, a, h. Dieser Kurve, der 
„Linie gleichen Abstandes“, kommen nach Art. 19 noch 
folgende Eigenschaften zu: 
1. Alle Normalen (Achsen) der Kurve stehen auf der 
festen Geraden senkrecht, und umgekehrt; 
2. jede Gerade, welche die Kurve in zwei Punkten 
schneidet, bildet mit ihr in den beiden Punkten gleiche 
Winkel, bildet also auch gleiche Winkel mit den durch die 
Schnittpunkte gelegten Achsen; 
8. die beiden Tangenten, welche von irgend einem Punkte 
an die Kurve gezogen werden können, sind gleich gross. 
c 2 
Wenn -jj + rt 2 + & 2 = 0 ist, so bleiben die beiden letzten 
rv 
der drei genannten Sätze ungeändert, der erste aber wird 
durch den folgenden ersetzt: 
Die Normalen (Achsen) der Kurve sind einander parallel.