36 Erster Abschnitt: Der Raum von drei Dimensionen. 
Die Bedingung für die Grenzlinie lässt leicht erkennen, 
dass, wenn K =. 0 und K 1 = 0 zwei eigentliche Kreise dar 
stellen, dem Büschel zwei Grenzlinien angehören. Nimmt 
man jetzt an, K = 0 und K x = 0 stellten zwei Grenzlinien 
dar, so wird die Gleichung 9) einen eigentlichen Kreis dar 
stellen, wenn K' und K\ verschiedenes Zeichen haben, da 
gegen eine Linie gleichen Abstandes, wenn die Zeichen von 
K' und K\ gleich sind. Daraus folgt: 
Durch jeden Punkt der Ebene geht eine Kurve des Kreis 
büschels; dieselbe wird ein eigentlicher Kreis sein, falls der Punkt 
innerhalb der einen, aber ausserhalb der andern Grenzlinie liegt; 
liegt aber dieser Punkt gleichmässig zu den beiden Grenzlinien, 
so ist die hindurchgelegte Kurve eine Linie gleichen Abstandes. 
Speziell folgen aus diesem Satze die weiteren: 
Um zu erkennen, ob sich durch drei Punkte ein eigentlicher 
Kreis mit reellem Mittelpunkt legen lässt, konstruiere man durch 
zwei von ihnen die beiden Grenzlinien; liegt dann der dritte Punkt 
innerhalb der einen, aber ausserhalb der andern, so lässt sich 
ein solcher Kreis hindurchlegen; wenn aber der dritte Punkt ent 
weder im Innern beider oder im Äussern beider liegt, so ist cs 
nicht möglich. 
Es giebt zivei Grenzlinien, welche eine festliegende Gerade 
in einem gegebenen Punkte berühren; dagegen giebt es unendlich 
viele eigentliche Kreise und unendlich viele Linien gleichen Ab 
standes, denen diese Eigenschaft zukommt. Die Kreise liegen im 
Innern einer der beiden Grenzlinien, die Linien gleichen Abstandes 
im Äussern beider; je grösser der Radius des Kreises gewählt 
wird, um so mehr nähert sich der Kreis der Grenzlinie in der 
Umgebung des gemeinschaftlichen Berührungspunktes. 
Um die Annäherung zu messen, beschreibe man um den ge 
meinschaftlichen Berührungspunkt einen Kreis mit beliebigem 
Radius r; derselbe trifft die Grenzlinie in einem Punkte A, den 
Kreis auf derselben Seite der gemeinschaftlichen Achse in B; 
dann sagt der Satz aus: Man kann nach beliebiger Annahme 
von r die Strecke AB so klein machen, als man nur will, wo 
fern man den Radius des Kreises nur hinlänglich gross macht. 
Wegen der letzten Eigenschaft wird die Grenzlinie auch 
als Kreis mit unendlich grossem Radius bezeichnet.