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Erster Abschnitt: Der Raum von drei Dimensionen.
einander gleicli sind. Jede Gerade nämlich., welche von einem
Punkte der einen Geraden senkrecht zur zweiten gezogen wird,
steht auch auf der ersten senkrecht. Jede Gerade, welche die
beiden gegebenen trifft, durchschneidet sie nutet gleichen
Winkeln. Sind a und b die gegebenen und g und h zwei
jene so schneidende Gerade, dass <)C {(ja) = <£ (ha) ist^ so
hat das (windschiefe) Viereck ag bh die Eigenschaft, dass
seine Gegenseiten einander gleich sind.“
Clifford bezeichnet zwei Gerade, welche überall den
selben Abstand haben, als parallel. Wenn eine Gerade ge
geben ist, so gehen durch jeden Punkt des Raumes zwei Ge
raden von der verlangten Eigenschaft, welche Clifford als
rechts- und links parallel unterscheidet.
Bei negativem Werte von k 2 nimmt die linke Seite von
19) für M. = go und ebenso für M — 0 einen positiven Wert
an, dagegen wird sie, wie 20) zeigt, für M = + 1 negativ.
Also hat die Gleichung für zwei windschiefe Gerade immer
zwei ungleiche reelle Wurzeln in M 2 . Von diesen entspricht
aber nur einer, wie Gleichung 21) zeigt (und zwar derjenige,
welcher > 1 ist), einem reellen Punkte auf jeder Geraden.
Legen wir die Punkte A = l, g = 0 und A' = l, g'= 0 in
diese beiden Punkte hinein, so muss in 18) A 0l = A 10 = 0
und der eine Wert von AI gleich A 00 , der andere gleich A n
sein. Dieser zweite Wert entspricht also dem Winkel der
jenigen beiden Ebenen, welche im Fusspunkte der gemein
schaftlichen Senkrechten auf den Geraden errichtet sind, oder
auch dem Winkel, welchen die durch die gemeinschaftliche
Senkrechte und je eine der gegebenen Geraden gelegten Ebenen
mit einander bilden. Eine Untersuchung der zweiten Differen
tialquotienten zeigt, dass die gemeinschaftliche Senkrechte
ein Minimum, der genannte Winkel ein Maximum darstellt.
Daraus folgt der Satz:
Im Lobatschewski)sehen Baume giebt es zu zwei wind
schiefen Geraden eine einzige gemeinschaftliche Senkrechte; die
selbe liefert die kürzeste Entfernung, bis zu welcher sich die
Funkte der beiden Geraden einander nähern; die durch diese
gemeinschaftliche Senkrechte und je eine der Geraden gelegten
