Integralrechnung 
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Man kann auf li n auch den Mittelwertsatz in seiner einfachsten Gestalt 
(mit g = 1) anwenden. Dann erhält man 
Die Taylorsche Formel lautet diesmal 
f(“ + h) = f[a) + y f («) + ••• 4 
(0 < d < 1) 
In dieser Form findet sie sich zuerst bei Cauchy. 
Der Leser beweise mittelst der Lagrangesehen Restformel den Satz über 
die Taylorsche Reihe, den wir auf S. 208 angegeben haben. Ferner be 
handle er mittelst der Taylorschen Formel die Maxima und Minima einer 
Funktion f{x). Ist z. B. f'[a) — f"{ä) = f"'{a] = 0 und f 1Y [a)^> 0, so 
wird bei genügend kleinem \h\ auch sein und daher 
(l*l>0) 
/ (« r Ä) > / [ä]. 
D. h. f{a) ist ein Minimum. Bei dieser Ableitung wird angenommen, daß 
/' IV (.r) an der Stelle a stetig ist. 
Integration gewisser Klassen von Funktionen. 
§ 107. Integration der rationalen Funktionen nach Leibniz. 
Die Integralrechnung ist durch Leibniz in verschiedenen Richtungen 
ganz bedeutend gefördert worden. Z. B, war er der erste, der die rationalen 
Funktionen integrierte. Leibniz selbst gelangte hier noch nicht zur völligen 
Klarheit, weil ihm der Fundamentalsatz der Algebra fehlte. Dieser Satz 
besagt, daß ein Polynom n-ten Grades 
f[x) = x n -f- a y x n ~ l H [- a n ^x a n 
stets in Faktoren von der Form 
x + a oder xZ -f- hx -f- c 
zerlegbar ist, also in lineare und quadratische Faktoren. Leibniz hielt 
diesen Satz nicht für allgemeingültig. Es gelang ihm z. B. nicht, x 4 + 1 in 
Faktoren zweiten Grades zu zerlegen, und er war überzeugt, daß dies un 
möglich sei. In Wirklichkeit ist aber 
x 4 + 1 = [x 2 + 1} 2 — 2x 2 = (x 2 ~{-1 — xV2) (x 2 -f 1 + x V2). 
D’Alembert war der erste, der den Fundamentalsatz der Algebra zu 
beweisen versuchte. Deshalb sprechen französische und italienische Mathe 
matiker vielfach von dem Theorem d’Alemberts. Strenge Beweise dafür 
gab aber erst Gauß. Wir empfehlen dem Leser die Lektüre dieser Gauß 
schen Arbeiten*). 
*) Oslwalds Klassiker, Nr. 14.