Oscu lationen.
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Man hat in den Elementen der Geometrie gesehen, daß zwi
schen einer Kreislinie und ihrer Tangente, keine andere gerade
Linie, wohl aber unendlich viele Kreislinien hindurchgehen können.
Eben so kann man zwischen einer beliebigen krummen Linie und
ihrer Tangente, keine andere Gerade, aber unendlich viele Kreis
linien von verschiedenen Halbmessern durchziehen, die mit der
krummen Linie eine gemeinschaftliche Tangente haben, und unter
welchen sich Eine befinden muß, welche sich in der Umgebung des
Berührungspunktes, der krummen Linie mehr nähert, als alle
andere. *
Um diese Satze analytisch auszudrücken, seyen x imb y, x
und y', x" und y", die Coordinaten dreier verschiedener krummen
Linien, die Einen gemeinschaftlichen Punkt haben, bei dem nämlich
x — x' = x" und y=y—y".
Nimmt man zuvörderst den Unterschied der Reihen
, dy h d^y _h*_ d5y h 3
y+ dxl + dx 2 1.2WX 5 1.2.3
, dy'h d 2 y' h 2 d 3 y h 3
Y + dx'l + dx' 2 1.2 ' dx' 3 1.2.3
+ rc.,
+ rc.,
welche die Ordinate» der in den zwei ersten krummen Linien der
Abscisse x-j-U entsprechenden Punkte ausdrücken, so findet man im
Allgemeinen
/dy
dy'\ h
+ 1
^d 2 y
d 2 j'\
h 2
\d x
dxV i
Vdx 2
dx'V
1.2
+ (
(Vj
d 3 y'\
h3 4-
1 (lx 3
dx' 3 /
1.2.3 1
zum Ausdrucke des Abstandes NN', Fig. 7., dieser krummen Li-Frg.
nien im Sinne der Ordinate»; und vertauscht man y' und deren
Differential - Coefficienten mit y" und deren Differential - Eoeffi-
cienten, so erhält man den Ausdruck des Abstandes N"N zwischen
der ersten und dritten krummen Linie. Es seyen 6' und ö" diese
beiden Abstände; ihre Ausdrücke haben.demnach folgende Form
6’
h L
1.2.3
h 3
TTO
+ rc.
+ rc.
Vergleicht man nun die beiden vorhergehenden Reihen, so
kann man den allen ihren Gliedern gemeinschaftlichen Factor h
wegstreichen, und damit 6' -< d" werde, d. h. damit sich die zweite
krumme Linie der ersten mehr nähere als die dritte, muß Statt
finden