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Oscula itonen. 
Bestimmt man vermittelst der beiden letzten Gleichungen die 
Werthe von y —ß, und x — a, um dieselben in der ersten zu sub- 
stituiren, so wird man finden 
d x 2 -f- d y 2 
Alle krummen Linien, welche einen gemeinschaftlichen Punkt 
haben, und deren Ordinate» an diesem Punkte denselben Differen 
tial- Coefficienten haben, haben auch ebendaselbst eine gemein 
schaftliche Tangente, und berühren sich folglich einander; allein sie 
können sich von einander unterscheiden, wie sich der eben bestimmte 
Kreis von allen denen unterscheidet, die sich nicht so sehr der gege 
benen krummen Linie nähern. Deßhalb theilt man die Berührun 
gen in Ordnungen, in Gemäßheit der Anzahl der aufeinander fol 
genden Differential-Coefficienten, welche in jeder der beiden krum 
men Linien denselben Werth erhalten. 
Die Berührung der höchsten Ordnung, die im Allgemeinen 
eine, blos der Gattung nach gegebene, krumme Linie mit einer an 
dern gegebenen haben kann, wird Osculation genannt, und 
jene Ordnung richtet sich nach der, um die Einheit verminderten, 
Anzahl der unbestimmten Constanten. So ist die Tangente, welche 
mit einer gegebenen krummen Linie, im Allgemeinen, nur eine 
einfache Berührung oder eine der ersten Ordnung haben kann, eine 
osculatorische Linie der ersten Ordnung. Die Kreislinie, deren 
Gleichung drei Constanten enthält, kann entweder eine Berührung 
der ersten Ordnung oder eine der zweiten Ordnung haben; allein 
da diese letztere die höchste ist, so wird dieselbe eine Osculation ge 
nannt, und unterscheidet die osculatorische Kreislinie 
von allen schlechtweg berührenden Kreislinien. 
Eine ziemlich merkwürdige Eigenschaft der osculatorischen 
Kreislinie D'MN' ist es, daß dieselbe die gegebene krumme 
Linie zu gleicher Zeit berührt und durchschneidet. Dieses ersieht man 
aus der Form des Ausdrucks von 6', deren erstes die ungerade 
Potenz h* enthaltendes Glied, sein Zeichen zugleich mit h än 
dert, und demnach darthut, daß sich bei den Abscissen x — L 
und x-j-ll die osculatorische Kreislinie in Bezug auf die gegebene 
krumme Linie und die Axe der Abscissen in verschiedener Lage 
befindet, nämlich unterhalb der gegebenen Linie auf der einen 
und oberhalb der gegebenen Linie auf der andern Seite des Be-