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Oscillationen.
Veränderliche a gibt; aber dieser Ausdruck ist auch der des Dif
ferential-Coefficienten eines Bogens einer krummen Linie, deren
Coordinaten a und ß sind (§.64.); und aus dieser Identität folgt,
daß der Halbmesser des Osculations-Kreises sich um dieselben Un
terschiede ändert, als der Bogen der krummen Linie F Z, welche
Eigenschaft die größte Aufmerksamkeit verdient.
Denn da der Halbmesser MO des Osculations-Kreises am
Punkte M eine Tangente der krummen Linie FZ ist, so hat er
nothwendig dieselbe Richtung, welche ein um die Convexität dieser
krummen Linie gewundener Faden bei seiner Abwickelung haben
würde, wenn man bei derselben bis zum Punkte 0 gekommen
wäre. Man wird bemerken, daß wenn man diese Abwickelung von
0 bis 0' forsetzte, der Faden sich um ein dem Bogen 0 0' der
krummen Linie F Z gleiches Stück verlängern würde; und da nach
dem Vorhergehenden der Unterschied der Bogen 0 M und 0' M'
ebenfalls demselben Bogen 0 0' gleich ist, so folgt, daß das
Ende M des Fadens sich noch in M' auf der gegebenen krummen
Linie befinden würde, die er während der von dem einen zum an
dern Punkte vorgenommenen Abwickelung nicht verlassen hätte:
man kann demnach die krumme Linie 0 X als durch die Abwicke
lung der krummen Linie F Z erzeugt ansehen.
Disees Verfahren hat eine große Analogie mit der Beschreibung
der Kreislinie; hier dient die krumme Linie F Z Statt des Mittel
punkts , und der Halbmesser M O, statt constant zu seyn, ändert
sich bei jedem Punkte. Die krumme Linie FZ wird eine Abge
wickelte, die DX eine Abwickelnde und der Halbmesser des
Osculations - Kreises, ein Halbmesser der Abgewickelten
genannt. *)
Es mag noch bemerkt werden, daß die Abgewickelte die Grenze
aller Durchschnitte je zweier aufeinander folgender Normalen der
gegebenen krummen Linie ist, weil der Punkt K, Durchschnitts
punkt der beiden Halbmesser M0 und M'O', welche aus der
krummen Linie DX in M und M' senkrecht stehen, sich desto
mehr der krummen Linie FZ nähert, je näher sich die Punkte M
und M' beisammen befinden.
Aus dieser letzten Betrachtung ließe sich auch die ganze vorher
gehende Theorie ableiten.
*) Vermittelst dieser letzten Betrachtung hat Hungens die Osculatorische
Kreislinie bestimmt, die er zuerst bemerkte; auch kann dieselbe zu den
Formeln des §. 76, führen; allein da dieser Gesichtspunkt die Unter
suchungen über die Osculatorische Kreislinie von der allgemeinen Theo
rie der Berührungen der krummen Linien trennt, wovon die ersteren
einen Theil ausmachen müssen, so ist er für den gegenwärtigen Stand
punkt der Wissenschaft zu beschränkt.