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Besondere Punkte. 
Fig. 13. Beim Punkte M Fig. 13., wo x = a, ist die Tangente wohl 
noch parallel mit der Axe der Abscissen, allein die krumme Linie 
bietet überdies noch einen andern Umstand dar: ihre hohle Seite 
nimmt eine entgegengesetzte Lage an, was man aus der Aenderung 
des Borzeichens des Differential - Coefficienten der zweiten Ord 
nung ersieht (§. 62.): denn man hat 
¿~2 — m (m — 1) c (x — a) m ~ 2 , 
und da m—2 auch eine ungerade Zahl ist, so geht (x — a) in ~ 2 
vom Negativen zam Positiven, wenn man von x<a zu x>a 
übergeht. Die Figur der krummen Linie in M heißt alsdann 
Beugung (Inflexion); die Tangente MT durchschneidet 
und berührt daselbst die krumme Linie zu gleicher Zeit. 
3) Ist m ein Bruch, dessen Zähler gerade und Nenner unge 
rade ist, z. B. m = , so wird erfolgen 
L y__ 
dx 
-3- c (x — a) 
2c 
i f 
i3’ 
2 (x — a)' 
welche Größe ihr Zeichen zugleich mit x — a ändert, und in der 
That ist daselbst ein Minimum; denn ändere man x in a — h 
2 
oder in so wird man immerhin finden y=b-j-ch 3 ', ein 
d y 
Werth, der großer als b ist, allein der Werth x = a, anstatt ^ 
gleich Null zu machen, macht dasselbe unendlich groß. Dieses 
rührt daher, daß, da eine ganze Größe ihr Vorzeichen nicht an 
ders ändern kann, als wenn sie durch Null gebt, eine Bruchgröße, 
die durch den Nenner ihr Vorzeichen ändert, auf diesem Wege un 
endlich groß werden muß. Der Ausdruck ~, z. B., gibt nach 
und nach 
a cc a 
ß' ö' ~"ß' 
wenn man in ihm setzt ^ — ß, x = o, x—-ß. 
Fig. 14. Betrachtet man dieses Minimum an der Figur 14., so fin 
det man es von einer andern Gestalt, als dasjenige der Figur 11.; 
denn da ^ unendlich groß wird, so ist die Tangente MT senk 
recht auf die Are der Abscissen. Man sieht übrigens an dem 
Ausdrucke 
ä-y 
d x 7 
2 1 
3 3 
c(i 
0 
2c 
4 f 
\x 
9(x — a) c 
daß, weil dieser Differential-Coefficient einen negativen Werth 
hat, was auch x seyn mag, die krumme Linie ihre hohle Seite