Besondere Punkte. 
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dy 
dx 
zeigen, daß die beiden Zweige in A, die Are der x zur ßemekn- 
schaftlichen Tangente haben, und daß sie beide dieser Äre lhre er 
habene Seite zuwenden, weil, wenn man x — o macht, der Dif 
ferential-Coefficient der ersten Ordnung Null und derjenige der 
zweiten positiv wird. Dieser Punkt A wird ein Rückkehrpunkt 
der zweiten Art genannt, um ihn von den andern zu unter 
scheiden. 
Man mag bemerken, daß der Differential - Coefficient der drit 
ten Ordnung 
d 3 y ,5 3i-f 
dx 3 —2 *2 *2* ' 
alsdann unendlich groß wird. 
Es gibt auch krumme Linien , worin sich die einander berühren 
den Zweige auf-beide Seiten des Berührungspunktes erstrecken, 
indem sie sich entweder ihre Erhabenheit gegenseitig zuwenden 
Fig. 18., oder umarmen Fig. 19. *) 
Fig. 18. 
Fig- 
tz. 65. 
Anstatt sich zu vereinigen, indem sie sich berühren, schneiden die 
krummen Linien zuweilen einander, und haben jede ihre besondere 
Tangente: hier folgt ein Beispiel. 
Macht man x=a, in dem Ausdrucke 
j — b (x — a)T^x — c, 
so werden dessen beide Werthe einander gleich; folglich ist dieser 
Punkt die Vereinigung der beiden Zweige der krummen Linie, der 
sie angehören; allein obschon nur noch Eine Ordinate y jetzt vor 
handen ist, so ist dennoch der Ausdruck von 
dy 
dx 
— ±.lTx— c 
der sich auf ±'} r a~c reducirt, noch doppelt, der positive Werth 
entspricht dem oberen, und der negative dem unteren Zweige; beide 
werden reell seyn, wenn a>»c, und werden die Figur 20. zum Fig.20. 
Vorschein bringen. 
Die Punkte, wo mehrere Zweige sich vereinigen und einander 
begegnen, werden vielfache Punkte genannt; der eben ange 
deutete ist ein doppelter, weil sich zwei Zweige dort vereinigen. 
*) Siehc „Le Traité du Calcul différentiel et du Calcul inte'gral “ 
t. III. Seite 633, §. 202.