Besondere Punkte. 
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Die Gleichungen 
(y — b) 2 — (x — a) = o, (y — hy — (x — a) 1 = o, 
woraus man ableitet 
dy__ 1 dy 2 (x — a) 
dx 2(y — b)' dx 3 (y — b) 2 ' 
bieten Beispiele zu diesen Fallen dar, wenn man in ihnen x—a 
macht, wodurch y —b wird; allein, wenn man im zweiten Bei 
spiel für y dessen Werth substituirt, und die den beiden Gliedern 
des Bruches gemeinschaftlichen Factoren auslöscht, so findet man 
^ unendlich groß, wenn x— a ist. 
§. 88. 
Es ist einleuchtend, daß wenn die Differential-Coefficienten 
unendlich groß werden, die vermittelst derselben gebildete Tay- 
lorsche Reihe nicht mehr benutzt werden kann; allein es ist hier 
eben so wenig ein Paradoxon vorhanden, als in allen andern 
Umständen, wo sich Ausnahmen von in Formeln dargestellten 
Regeln offenbaren. Kehrt man zum Ursprung dieser Formeln 
zurück, so laßt sich einsehen, daß das Kennzeichen, welches die 
Ausnahme andeutet, zu gleicher Zeit darthut, warum diese Letz 
tere Statt findet. 
In der That, da die Taylorsche Reihe den veränderten Zu 
stand einer Function u ausdrückt, deren Veränderliche x den 
Zuwachs h bekommen hat (§. 23.), so darf sie im Allgemeinen 
nur ganze Potenzen von h enthalten, so lange man x in ihr 
unbestimmt läßt (6. 20.); allein bei allen besondern Werthen von 
x verhält es sich nicht immer so. Wenn z. B. x—a+h an 
genommen wird, so geht die Function 
p 
ti = b -f- c (x — a) q 
über in 
p E 
u'z=b + c(a-j-t — a) q = b + c h q , 
und ähnlich wird u' ausfallen, so oft eine Größe verschwinden 
wird, die sich unter einem Wurzelzeichen befand; denn, wenn 
die Substitution von xZ-b für x, im Allgemeinen in 
Y~P + p h q h 2 -}- rc. 
verwandelt, und ein besonderer Werth von x, P = o macht, so 
wird der vorhergehende Ausdruck': 
m i_ 
Y~p h -j- q h 2 -J- 2C. c= h m (p -f- q h -J- rc.)'",