108 Besondere Punkte. 
dessen Entwickelung nothwendig Bruchpotenzen des Zuwachses 
h enthalten wird. 
Diese Aenderung der Form ist die nothwendige Folge der 
durch das Verschwinden des Wurzelzeichens für einen Augenblick 
verringerten Anzahl der Werthe der gegebenen Function. In 
dem allgemeinen Zustande der Function hat jeder Werth seinen 
besondern Zuwachs, der sein Fortbestehen sichert, so gibt die Tay- 
lorsche Reihe, für die Function 
u — b ±Kx— a, 
die beiden Reihen 
u— U~ :±i(x—a) “ T h ip g- (x — a) T h 2 ;± 2C., 
indem das obere Zeichen dem einen, und das untere dem an 
dern der beiden Werthe von u entspricht. Wenn die Func 
tion von einer Gleichung abhängt, worin die veränderlichen 
Größen miteinander verbunden sind, so erhält der Ausdruck der 
Differential - Koefficienten, welcher außer der unabhängigen Ver 
änderlichen die Function selbst enthält, wegen dieser Letzteren 
ebenfalls so viele Werthe als dieselbe zuläßt (tz. 51.), und die 
Anzahl der von der Taylorschen Reihe gelieferten Zuwachse bleibt 
derjenigen der Werthe der Function gleich. 
Aber in den besondern Fällen, wo mehrere dieser letzteren 
Werthe sich in einen einzigen vereinigen, müssen diesem einzigen 
Werthe mehrere verschiedene Zuwachse entsprechen, damit die 
Function alle diejenigen Werthe wieder gewinnen könne, die sie 
im Allgemeinen haben muß. Allein dieses leisten die Bruchpo 
tenzen von h, weil dieselben so viele. Bestimmungen zulassen, 
als der Exponent der ihnen gleichen Wurzelgröße Einheiten ent 
hält. So hat man in dem obigen Beispiele, wenn x—a, 
u — b, u' — u = -4-b T * 
die beiden dem einzigen Functionenwerthe u—b zugesellten Zu 
wachse 4-b’ 2 ', — h~, bringen wiederum die beiden Werthe zum 
Vorschein, die die Function u hier im Allgemeinen erfordert. 
§. 89. 
Man sieht im letzten Beispiele leicht ein, daß der Differential- 
Coefficient der Function u, dessen Ausdruck 
ist, und b im Nenner beibehält, unendlich groß wird, wenn 
h = o.