Besondere Punkte.
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Wenn die Entwickelung u' — u gebrochene Potenzen von h
enthalten muß, so ist zwar nicht immer wie so eben schon der
Erste Differential-Coefficient unendlich groß, allein von einer
nahem oder entfernteren Ordnung an, werden es dennoch alle
folgenden.
Beweis. Es sey im Allgemeinen
u' = u + Ph si + Qh/ 3 + + Th«+ rc.;
da u' eine Function des Binoms x-sill ist, so wird man die
Gleichung
du du'
csh dx 1J * )
erhalten, wovon jede Seite ebenfalls eine Function von x -f- h ist.
Differentiirt man nach und nach in Bezug auf t und auf x, so
erhält man demnach
d 2
d 2
u
d 2
dh 2
dxdh' dxdh
d 2 u' d 2 u*
d h 2 d x 2
d 2 u
dx 2
, U. s. w
mithin
woraus hervorgeht, daß die Function u in ihrer Beziehung auf h
und in der auf x gleiche Differential - Coefficienten darbietet; wor
auf man zu den Differential - Coefficienten von u übergehen kann,
wenn man in den einen oder in den andern h — o macht. Dieses
vorausgesetzt, bringt ein beliebiges Glied Th* von u', wenn man
d 11 uZ
den Ausdruck von sucht, ein Glied von folgender Form
hervor
L (e — 1) (e — 2) (e — n 1) T hf- n ;
so lange n<£, so lange ist e — n positiv und die Annahme von
h—o macht das letzte Glied gleich Null, und ist n=so eryält
¿n U
man ( £ — 1) IT. Allein ist e eine gebrochene Zahl,
so geht e — n vom Positiven zum Negativen über, ohne inzwischen
Null zu werden. Ist e — n negativ geworden, welches sobald
Statt findet, als so wird, wenn man h = o macht, obi-
d n u
ges Glied unendlich groß; folglich wird dieses auch > wovon
jenes Glied einen Theil ausmacht.
Es ist klar, daß den Gliedern mit gebrochenen Exponenten an
dere mit ganzen Exponenten vorhergehen können, wozu die sehr
einfache Function
p
u = b x m -}- c (x — a) q