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Besondere Punkte. 
ein Beispiel liefert, wenn und x=a angenommen wird; 
ihre Differential-Coefficienten bleiben bis zur mten Ordnung von 
endlicher Größe. 
tz. 90. 
Man hat wohl zu bemerken, daß im Vorhergehenden die unter 
dem Wurzelzeichen befindliche Größe verschwand; denn es könnten 
die Wurzelgrößen auch dadurch verschwinden, daß sie mit einem 
Factor begleitet wären, den ein besonderer Werth von x auf Null 
brachte; aber dieser Fall bildet keine Ausnahme für die Taylorsche 
Reihe, weil die Wurzelgrößen, welche im Werthe der Function 
verschwanden, bei den Differential-Coefficienten wieder zum Vor 
schein kommen. 
Es sey z. B. 
u =b dr (x — a) m y"x— c; 
hier läßt die Annahme von x—», welche die beiden Werthe von 
il gleich werden läßt, die Differential-Coefficienten nur bis zur 
Ordnung m ausschließlich verschwinden, weil man, bei einem Ver 
fahren ähnlich dem des tz. 57., findet, daß alle Differential-Coef- 
sicienten von einer niedriegern Ordnung den Factor x — a in allen 
Gliedern enthalten, daß aber 
(m —1) iKx —c+2C. 
Da dieser Differential - Coefficient und die ihm folgenden jeder 
zwei Werthe haben, so bilden sie zwei Reihen, welche die Werthe 
der gegebenen Function wieder hervorbringen. 
§. 91. 
Die geometrischen Betrachtungen bestätigen die vorigen Bemer- 
Frg.25.kungen; man sieht nämlich, daß die krumme Linie Fig. 25., 
welche beim Punkt F, welcher der Abscisse AG entspricht, nur 
Eine Ordinate hat, deren bei der nächsten Abscisse Ac nur deß 
halb zwei haben kann, weil die Ordinate CE zwei verschiedene 
Aenderungen ge und qe' erleidet; allein die Ordinaten ce und 
ce werden jede nur eine einzige Aenderung erleiden, wenn man zu 
einer von A c verschiedenen Abscisse übergehen wird. 
Eben so verhält es sich bei dem vielfachen Punkte G, wo zwei 
Zweige der krummen Linie einander durchschneiden; die besondere 
Ordinate F G erleidet auch hier, bei einem einzigen Zuwachse der 
Abscisse Ff, die beiden Aenderungen rg und rg'.