Besondere Punkte. 
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§. 92. 
Die Reihe, welche die Aenderung einer Function ausdrückt, 
muß nicht nur in gewissen besondern Fällen gebrochene Erponen- 
ten des Zuwachses der Veränderlichen enthalten, sondern es können 
auch negative vorkommen. 
Hat man z. B. 
P 
u = , 
(x — a) m 
wo P keinen Factor x—a enthalten soll, so wird die Aenderung 
von x in x -j- h geben 
, P-J-ph-f- qh 2 + 2C. 
U ~ ' 
welcher Ausdruck negative Potenzen von ll enthalten wird. Das 
selbe trägt sich auch bei der Function ix zu, wenn x^o ange 
nommen wird; es kann ja nämlich eine Function, die bei dem 
Werthe x= a unendlich groß wird, zu ihrem endlichen Werthe bei 
x — a + h, nur vermittelst eines unendlich großen Unterschiedes zu 
rückkehren. 
tz. 93. 
Da die verschiedenen besondern Fälle, welche wir bisher unter 
sucht haben, sich nur auf besondere Werthe der unabhängigen Ver 
änderlichen beziehen, so können sie die Schlüsse nicht entkräften, 
welche wir auf den allgemeinen Zustand der Function gebaut haben, 
und man kann sie bei der Discussion der krummen Linien umgehen, 
wenn man untersucht, was sich vor und nach dem Punkte darbie 
tet, dessen Natur man erforschen will, so daß sich das Aufsuchen 
der besondern Punkte auf folgende eben so allgemeine als sichere 
Regel zurückführen läßt, die nur die Anwendung der Differential- 
Rechnung erfordert: man erhält allgemein die Angabe 
der Abscissen, denen ein besonderer Punkt ent 
spricht, wenn man die Fälle aussucht, in denen die 
Differential- Coefficienten, von irgend einer Ord 
nung an, entweder Null oder unendlich groß oder 
£ werden: die Gatttung des besondern Punktes 
läßt sich hierauf bestimmen, wenn man Istens, die 
Anzahl der Zweige in diesem Punkte, mit Rück 
sicht darauf, ob sie sich diesseits und jenseits er 
strecken oder nicht, 2tens, die Lage ihrer Tangen 
ten, und 3tens, die Seite, nach welcher sie bohl 
sind, untersucht. *) 
*) Indem ich diesen Gegenstand verlasse, will ich noch bemerken, daß der 
im Vorhergehenden befolgte Gang, um die beMdern Punkte der