Da die Bestimmung der Maxi ma und Minima zu den 
wichtigsten Gegenständen der Analyse gehört, so glaube ich sie hier, 
auf eine allgemeine und von der Betrachtung der krummen Linien 
unabhängige Art, nochmals abhandeln zu müssen. 
Man hat schon im §.83. gesehen, daß der wesentliche 
Charakter des Maximum darin besteht, daß es zu 
gleich die ihm unmittelbar vorangehenden und 
nachfolgenden Werthe übertrifft; das Gegentheil 
findet beim Minimum statt: dasselbe ist nämlich 
kleiner als die ihm unmittelbar vorangehenden 
und nachfolgenden Werthe. 
Betrachten wir die Entwickelung des veränderten Zustandes 
von u — f(x), wenn man nämlich dem x den besondern Werth » 
gibt und hierauf a in verwandelt, unter ihrer allgemeinsten 
Form, und schreiben wir deßhalb: 
u' = u -j- P h ß + Q hß 4- R hy' -j- re., 
wo die Exponenten a, ß, y, rc. ganz oder gebrochen sind, allein, 
mit dem kleinsten anhebend, nach ihrer Größe fortschreiten. Die 
ses vorausgesetzt, wird sich der Zustand von u, welcher a —h 
entspricht, aus u' ableiten lassen, wenn man hierin h in —* h 
verwandelt; und indem man ihn mit u, bezeichnet, wird man 
erhalten: 
u, = u + P (- h)“ + Q (- h)/> + R (— hy+ !C., 
woraus folgt, daß die Unterschiede, zwischen dem primitiven Zu 
stand u und zwischen den vorhergehenden und nachfolgenden, fol 
gende seyn werden: 
u,-u=P(-h) ß + Q (— h y+ R (— h)r + rc. 
u'—u=Ph« -fQh/ 5 H-Rh/ -strc.; 
allein beide müssen negativ seyn, wenn u ein Maximum ist, und 
positiv, im entgegengesetzten Falle, und zwar wie klein auch der 
Zuwachs h seyn mag: es müssen also in beiden Fällen die ersten 
Glieder P(—h) K und P h ß einerlei Zeichen haben. Da aber der 
Coefficient P eine unveränderliche Function vou » ist, so muß die 
Potenz von h, weil sie ihr Zeichen nicht ändern darf, entweder 
eine gerade Zahl zum Exponenten haben, oder einen solchen Bruch, 
der nach möglichster Vereinfachung einen geraden Zähler behält. 
Man wird also haben: 
u, —u = P h K -}- ic., 
U — u = Ph“+ rc.; 
hat nun P für sich das Zeichen -st, so werden jene beiden Unter 
schiede positiv und nein Minimum seyn; hat aber P das Zei