Analyse einer krummen Linie.
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32»
Ay d^y dy*
d X dx s * d x 4
oder
¿ 3 y_ (4I) 2 -1_
• dxi Hl 32 a 2 Y*.-H-'
wenn man für dessen Werth
Hierdurch er
hält man zum Ausdrucke des Abstandes zwischen der krummen
Linie und ihrer Tangente, bei der Absciffe (§. 76.),
d"=±)
(*£)=_ 1 h»
' 3 2 a V~ i o 1.2.3
woraus hervorgeht, daß der von der Geraden AL, welche dem
d y , , .
positiven Werthe von ^ entspricht, berührte Zweig, auf der Sette
der positiven Abscissen, oberhalb, und auf der Seite der negati
ven Abscissen, unterhalb jener Geraden befindlich ist, und daß
das Gegentheil bei dem von der Geraden AL' berührten Zweige
Statt findet; folglich erleidet jeder Zweig der krummen Linie im
Punkte A eine Beugung.
§. 109.
Ich kehre zu den Werthen
y■ = Y96 a 2 = dz 4 aY6
d Y .
zurück. Dieselben bringen den Ausdruck von wirklich auf
Null, weil sie seinen Nenner nicht verschwinden lassen: folglich
ist in den durch jene Werthe angedeuteten Punkten D und D'
die Tangente parallel mit der Axe der Abscissen.
Daß die Ordinate im Punkte 1) ein Maximum ist, ergibt
sich, sowohl aus der Betrachtung des (§. 102.), als auch
aus der Einsicht, daß sowohl die vorhergehende als die nachfol
gende Ordinate kleiner ist. Hier gewähren beide Mittel dieselbe
Leichtigkeit; zuerst das zweite, weil man die Werthe von y schon
hat (§. 106.), unter denen es jetzt auf diejenigen ankommt, wo
das zweite Wurzelzeichen das Zeichen -ch- hat. Was das erste
Mittel betrifft, so gibt die zweite Differentialgleichung, wenn man
m ihr x—o, y = rt| / ~96a 2 wnbj^= o macht, einen nega^
tiven Werth von beim Punkte D, was ja das Maximum be
gründet, und einen positiven beim Punkte D', wo man ein Mim-