Transcendente fr um mc Linien. 
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Der Bogen M Q kann auch durch seinen Cosinus, d. i. durch 
a—y ausgedrückt werden: laßt man ihn hierauf durch die Diffe 
rentiation verschwinden, indem man sich der Formel des §. 36. 
bedient, worin man L. in a, uina—y und x in MQ verwan 
delt, so findet man: 
are. MQ = 
ady 
^2ay— y a ’ 
worauf man erhält: 
i ady 
dx = — 
} 2a y — y 2 
ady —ydy 
r ,, r 
f iay — y- 
oder, 
die Differentialgleichung der Cycloide. 
Wenn der Berührungspunkt I vom Punkte A um den halben 
Umfang des Erzeugungs-Kreises entfernt ist, so befindet sich der 
beschreibende.Punkt in K, und dessen Erhebung über AL ist dem 
Durchmesser jenes Kreises gleich ; hierauf steigt derselbe hinunter, 
bis zum Punkte L, wo der Berührungspunkt sich nun um einen 
ganzen Umkreis von A entfernt hat. 
Die Cycloide erreicht nicht in jenem Punkte 1- ihr Ende, denn 
nichts begränzt die Dauer der Bewegung des Erzeugungs-Kreises. 
Man hat bei der Beschreibung der krummen Linien wohl zu achten, 
daß die verschiedenen Theile, welche aus einer und derselben Con- 
struction oder Bewegung entspringen, sämmtlich zu derselben krum 
men Linie gehören. So beschreibt der Kreis QMG, indem er, 
jenseits des Punktes L, sich über der Geraden AL fortwälzt, 
eine Reihe von Theilen, welche AUL. ähnlich sind; und man 
kann derselben eine gleiche Anzahl auf der linken Seite von A 
gedenken, weil der Erzeugungskreis dann erst dort ankommen 
mochte, als er schon wahrend einer unendlich großen Zeit in 
Bewegung gewesen war. Die Gleichung der krummen Linie 
führt uns zu diesen Bemerkungen; denn hier hindert nichts, den 
Bogen QM um so viele Umkreise, als man will, zu- oder ab 
nehmen zu lassen. Uebrigens sieht man auch ein, daß y nie 2 a 
zu übertreffen vermögen wird. Woraus folgt, daß die in ihrer 
ganzen Ausdehnung gedachte Cycloide, durch eine und dieselbe 
gerade Linie, in unendlich vielen Punkten durchschnitten werden 
kann. 
§. 115. 
Nun ist nichts leichter, als die Ausdrücke der Subtangentc, 
Tangente, Subnormale und Normale der Cycloide zu finden. 
Gemäß den allgemeinen Formeln des §. 66. findet man: