Transcendente krumme Linien. 
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u s = at 
die der parabolischen Spirale d. i. derjenigen krummen 
Linie, welche zum Vorschein kommt, wenn man die Are einer 
Parabel sich um den Umkreis 0 6 0 Herumbiegen laßt: die Or 
dinalen stehen alsdann senkrecht auf dem Umkreise und fallen 
mit den Halbmessern zusammen. 
tz. 118. 
Bezieht man die krummen Linien auf Polar - Coordinaten, so 
erhält man zur Aenderung des Radius vector AM, Fig. 32., den 
Theil QM' des nächsten Radius vector, der von diesem letzteren 
durch den aus dem Punkte A als Mittelpunkt mit dem Halb 
messer AM beschriebenen Bogen M'Q abgeschnitten wird, und 
die Aenderung des Winkels MAO wird von dem mit dem Halb 
messer AN = 1 beschriebenen Kreisbogen NN' gemessen. So wie 
im tz. 60., sieht man, daß das Erste Differential von A M das 
Erste Glied des nach Potenzen von NN' entwickelten M'Q ist, 
und geht man zu den Gränzen über, so betrachtet man den klei 
nen Bogen M Q als eine gerade Linie (§. 74.) und das Dreieck 
MQM' als ein rechtwinkliges geradliniges Dreieck, welches 
MM' == + QM 3 gibt. Da alsdann QM' = du, und 
NN'=dt, so erhält man QM = udt und hierauf 
,,M M' — d ,DM = f d u 2 -J- u 2 d t 2 
zum Differential des Bogens. 
§. 119. 
Zieht man AI parallel mit der Chorde des kleinen Bogens 
QM, und verlängert die Seite MM' des in die krumme Linie 
eingeschriebenen Polygons, bis sie jene Gerade trifft, so hat man, 
wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke M'Q M und M'AT 
Q M' A M' 
QM ~AT' 
Geht man zu den Gränzen über, so kann die Chorde Q M für 
den Bogen genommen werden; und da der Winkel M'QM einem 
Rechten so nahe gebracht werden kann, als man immer will, so 
nähert sich das Dreieck M'AT eben so dem in A rechtwinkligen 
Dreiecke MAT', worin AT' die Gränze von AP ist, und wel 
ches gibt 
du u 
woraus man schließt: 
„Subtang. AT' = ~j"~ ">