Transcendente krumme Linien. 
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seyn, wie diejenige der Verhältnisse der Ausschnitte AMQ, 
AM'R, zwischen denen jener inne liegt, und welche gleich zu 
werden streben, zu demselben Bogen N N'. tyftcin wird hieraus 
schließen, daß, wenn der Flächeninhalt A D M durch s dargestellt 
wird, sein Differential-Coefficient 
a s _AjM X M Q ii* 
dt “ 2NN' — 2 
seyn muß , oder daß man hat: 
§. 121. 
Das zweite Differential d 2 u, wird das Erste Glied des nach 
Potenzen von N N' entwickelten Unterschiedes M"Q' — JVI'Q seyn 
(§.60.); und man muß bemerken, daß, wenn man den Bogen 
NN' als konstant annimmt, oder den Winkel t sich immer um 
dieselbe Größe ändern läßt, die Bogen QM, Q'M' darum noch 
nicht einander gleich sind; denn sie haben verschiedene Halbmesser. 
Man könnte hieraus die, auf den Mittelpunkt der Krümmung, 
so wie auf die Abgewickelte, bezüglichen Ausdrücke herleiten; allein 
ich ziehe es vor, die in Bezug auf rechtwinklige Coordinaten ge 
fundenen Ausdrücke, auf die durch Polar - Coordinaten bestimmten 
krummen Linien, anzuwenden, weil dieses Verfahren uns Gele 
genheit darbietet, die Coordinaten des einen Systems in die des 
andern zu verwandeln. Es wird dieses um so nützlicher seyn, weil 
man zuweilen algebraische krumme Linien auf Polar - Coordinaten 
bezieht, wie dieses besonders bei den Linien der zweiten Ordnung 
der Fall ist, indem man ihren Brennpunkt zum Pole wählt. 
§. 122. 
Der größern Einfachheit wegen, will ich den Punkt A zum Mg. 33. 
Anfangspunkt der rechtwinklichen Coordinaten 
AP —x, PM = y, 
annehmen, und, um die Lage der Abscissen - Are AD festzustellen, 
will ich den zwischen jener Äre, und dem Anfangspunkte O des 
Bogens t, begriffenen Bogen Q O mit m bezeichnen. Zieht man 
P M senkrecht auf AD, und bemerkt, daß der Winkel MAP vom 
Bogen N Q —t— in gemessen wird, so findet man 
rM - =ip+PM, 
A P = A M cos N Q, 
PM=: AM sin NQ, oder 
Lacroix Diff«s«nt. 
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