140 
Transcendents krumme Linien. 
X — u cos (t— m) .. . (b) 
y = u sin (t — m) . . (c) 
Vermittelst der beiden letzten Werthe, läßt sich jede algebrai 
sche Gleichung zwischen x und y, in eine andere verwandeln, die 
nur den Sinus und den Cosinus des Bogens t nebst dem Radius 
vector « enthalten wird. Man leitet auch daraus ab: 
cos (t — m) — — 
7 u 
. y 
sin (t —- m) ~ —, 
u 
woraus sich die Werthe von cos.t und sln.t in x, y, u sin m 
und cos m ausgedrückt bestimmen lassen, die, in einer beliebigen 
Gleichung zwischen n, sin t und cos t, substituirt, zu einem 
Resultate führen, welches nur noch x und y enthalt, weil man 
„ durch V~x- + j- ersetzen kann. 
Es ist gut zu bemerken, daß tang (t — m) = ^ und folglich 
t — m = arc. ^tang ;= 
Nimmt man der Abkürzung halber, an, daß die Linie AB 
mit der Linie AO zusammenfällt, so hat man bloß: 
cost = ~/sin t —und mithin taug t —y. 
Wenn die Gleichung zwischen u und t, die man verwandeln 
möchte, den Bogen t selbst enthalt, so ist es nicht mehr möglich, 
eine algebraische Relation zwischen x und y zu erhalten, weil man 
keine solche zwischen dem Bogen t und seinem Sinus oder Cosinus 
hat; allein man kann, wie wir gleich sehen werden, zu einer 
Differentialgleichung gelangen, welche nur x, y, dx und dy 
enthält. 
Die mit der Gleichung der krummen Linie verbundenen Glei 
chungen (b) und (c) bringen unter die vier Veränderlichen X, y, u 
und t einen solchen Zusammenhang, daß drei derselben Functionen 
der vierten sind;, man kann also die Gleichungen (a), (b) und (c) 
so differentiiren, daß man in ihnen t, u und y als Functionen von 
x ansieht (§. 46.) , wodurch man erhält 
d u = d F^x 2 -j- y 2 
dx = du cos (t — m) —-u d t sin (t — m) 
dy === du sin (t — m)-j-udtcos (t — in). 
Eliminirt man u aus den beiden letzten Gleichungen, so 
erfolgt: