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Transcendente kr um rne Linien.
über; setzt man hierauf für p und q, deren Werthe in solchen
Differentialen , die sich auf die unabhängige Veränderliche t bezie
hen, so erhält man:
dx^y-— d y d 2 x*
Läßt man nun die, in den Werthen von dx und dy im
§. 122., befindlichen, dx, dy und du, als Functionen von r,
variiren, so findet man
d 2 x — d 2 u cos (t— m) — 2du dt sin (t—m) — udt 2 cos (t — m),
d a y = d 2 u sin (t—m) -j-2 du dt cos (t—m) — udt 2 sin (t — in) *
und nimmt man nun auch, wie im §. 124., und aus dem dort
angegebenen Grunde, t — m = iq, an, so erfolgt
dx =— udt, dj"du
d 2 X — — 2dudt, d 2 y = d 3 u
U d t*
mit welchen Werthen man bald finden wird:
(d u 2 —J— u 2 d t 8 )-
udtcl 2 U'—u 2 dt 3 —2du'
2 d u a d t
§, 127.
Wenn man die Polar-Coordinate» gebraucht, so pflegt man
die Lage des Mittelpunktes des Osculations-Kreises durch diejenige
der Normale und des Abstandes ME §« bestimmen, der sich
zwischen dem Punkte M und dem Fuße des aus dem Mittel
punkte E des Osculations - Kreises auf die Gerade AM gefällten
Perpendikels befindet, welches der Construction des Krümmungs
halbmessers zuweilen Eleganz verschafft.
Wählt man die Linie A M zur Axe der Ordinaten y, so
stellt der Theil AE die Ordinate ß der Abgewickelten dar (§. 81.),
und folglich ist.
. d x 2 -4“ d V 2
ME^AM-AE-y-^ Îy '
welcher Ausdruck in folgenden übergeht
wenn man die auf die Veränderliche x bezüglichen Differentiale
dy und d 2 y durch p dx und qdx 2 ersetzt; substituirt man hier
auf für p und q, deren Werthe in solchen Differentialen, die sich
auf die unabhängige Veränderliche t beziehen, so findet man