Transcendente fr um me Linien.
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MF __ (1 -x (fl x 2 -J- d y 9 )
dxd*y-d yd 2 x'
oder endlich, wenn man, für dx, dy, d 2 x und d 2 y, deren int
vorhergehenden §. erhaltene Werthe substituirt:
ME = —
u (d u 2 -f- u 2 d t 2 )
u d 2 u — u 2 d t — 2 d u*‘
§. 128.
Zur Anwendung dieser Formeln diene uns die logarirhmische
Spirale, deren Glelchung
t = 1 u
ist. *) DifferentiirL man, so erfolgt
dt = M^ (tz. 28.), oder
udt
d u
M
woraus hervorgeht (§. 119.), daß die Tangente, in allen Punkten
dieser krummen Linie, denselben Winkel mit dem Radius vector
macht.
Differentiirt man von Neuem die Gleichung cl t = M —,
indem man dt konstant annimmt, so erhält matt
ud J u - du 2 — o, weßhalb
du 2 t
“5
d u 2
substituirt man diesen Werth von d 2 u, so wie den obigen von d t,
in den Ausdrücken von y oder MF und von ME, so findet.man
nl r i + M 2
M F =r=
M
ME:
:AM.
Hieraus folgt, daß die auf den Radius vector AM senkrecht
gezogene Gerade AF (Fig. 35.), der Normale MF, im Mittel-Fig. 35.
*) Wenn man in dieser Gleichung r — o macht, so erfolgt u = l; mit
hin geht die krumme Linie durch den Punkt 0 Fig. 34.; hierauf zei-Fig. 34.
gen die, zugleich mit r, wachsenden Werthe von n, daß die krumme
Linie außerhalb des Kreises O N G, eine unendliche Anzahl von Um
drehungen macht. Die innern llmdrehungen werden durch die nega
tiven Werthe der t hervorgebracht, welche für die u immer kleinere
Werthe geben; es nähert sich demnach die krumme Linie immer mehr
dem Pole A, ohne demselben je zu erreichen.