Veränderung der Veränderliche n.
is>3
t/d y \ d x d 2 y — dyd 2 x
d p = ct I I = ————r~“ :
‘ V.d x/ ci x
macht man hierauf dp ^qdx, so findet man:
_ 1 , /d y\ d x d 2 y — dyd g x
^ dx \d x' d x 3
Verfolgt man diesen Weg weiter, so findet man,
d x* d* y — 3dxd 2 xd 2 y3 d y d 2 x 3 — d x d y d 3 x
^ ~ " """ dl 1 ' ’
und, nachdem man dq = rdx gemacht hat,
d x 2 d 3 y — 3 d x d 2 x d 2 y -}- 3 dy d 2 x 2 —- d X d y d 3 x
r dx 4
So lassen sich die Größen x, q, r rc., welche implicite
Functionen von x find, vermittelst der als Functionen von r an
gesehenen Größen d x, dy, d 2 x, rc., ausdrücken; und substituirt
man diese Werthe, in irgend einer beliebigen Formel, die so ein
gerichtet wurde, daß sie bloß die Differential - Coefficienten x, q,
v, rc. enthalt, so wird jene Formel unter den verlangten allge
meinen Gesichtspunkt gebracht.
tz. 130.
Die Ausdrücke von q, r, rc. sind unbestimmt, so lange man
zwischen den Veränderlichen x, y und t keine Relation aufstellt;
allein aus dem Daseyn einer solchen Relation folgt eine Abhän
gigkeit zwischen d 2 x und d 3 y. Denn, da r auch als Function
von x und von y angesehen werden kann, so ist de auch eine
Function von jenen Veränderlichen und von deren Differentialen,
und die Annahme, daß de constant ist, zieht die Gleichung
d 2 1 — o nach sich.
Um diese letztere Gleichung zu erhalten, ist es selbst nicht noth
wendig, die ursprüngliche Gleichung zwischen x, y und der als
unabhängig angesehenen Veränderlichen t zu kennen; es reicht hin,
den Ausdruck von dr zu haben.
Wählte man z. B. zu dieser Veränderlichen den Bogen der
gegebenen krumrnen Linie, so hätte man (§. 64.)
d t = 'Y'd x 2 -J- d y 2 ;
differentiirte man alsdann dx und dy als Functionen von t, so
würde die Gleichung, d 2 r —o, auf
dxd 3 x-s-dyd 2 y — o
führen, woraus