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Veränderung der Veränderlichen.
d 2 ;
^ dy d a y
(Ix
erfolgte; schaffte man, mit Hülfe dieser Gleichimg und ihrer Dif
ferentiale, die Differentiale d-x, d 3 x, rc., aus den Ausdrücken
von q, r rc., fort, so gelangte man zu der Form dieser letzteren
Differential - Coefficienten, wenn x und)", in Folge der Aende
rung des Bogens t, variiren, oder wenn man diesen letzten Bo
gen als die unabhängige Veränderliche ansieht, oder endlich wenn
man das Differential desselben als constant ansieht.
Zum Beispiel diene der Ausdruck
(dx a -f dy 2 )^
setzt man, fúrd 2 x,
. (§.126.):
dxd a y— dyd*x n
dessen Werth, so erhält man
dx(d x 2 + dy a ) i
d x dt
"d*““ '
d 2 y a* y
welches Resultat nur noch die Veränderlichen y und t enthalten
wird, wenn man dx durch seinen Werth \ r d t 2 — d y 2 ersetzt.
Man kann auch, nach Belieben,
dt = dx oder dt = dy
machen, woraus hervorgeht
d a x — o oder d 2 y = ö*
mit Hülfe dieser Annahmen macht man abwechselnd x oder y zur
unabhängigen Veränderlichen, d. h. betrachtet man y als Function
von x, oder x als Function von y. Im ersten Falle ist
d 2 y . . dyd 2 x
q"dx-' unb im gelten tfl q == .
Substituir! man diesen letzten Werth in dem Ausdrucke,
so verwandelt man denselben unmittelbar in denjenigen, welcher
dem Falle entspricht, wo x als Function von y angesehen wird,
und welcher folgender ist:
^x--^dy-?
' dyd 2 x
§. 131.
Man kann auch die Differentiale von y, welche gebildet
wurden, indem man eine in x und y gegebene Function t zur
unabhängigen Veränderlichen annahm, dahin zurückführen, daß