Veränderung der Veränderlichen.
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sie unmittelbar von x abhangen. Um diesen Zweck zu erreichen,
braucht man nur zu bemerken, daß man, wenn man x und y,
so wie die Differential-(Koefficienten p, q, rc., als Functionen von
t ansieht, wie im §. 123, die Gleichungen
d y == p d x , dp a=± q d x, d q = r d x, 2C.
hat; und, unter diesem Gesichtspunkt, führt die Gleichung
,d y — p d x,
durch die Differentation, auf die folgenden
d J y =
d p d x
+ p d 2 x
=
q d x 2
-j- p d 2 x,
d ä y 5=
d q d x 5
' + 2 q d x d 2 x
4- d p d 2 x -f- p d 3 x
r d x 3
-J- 3 q d x d 2 x
+ pd 3 x,
rc.;
vereinigt man hiemit die Gleichungen
d 2 t — o, d J t = o, 2C.,
welche die Relationen zwischen d 2 x, d 3 x,2C. und d 2 y, d 3 y, re.
geben werden, so wird man alles haben, was nothwendig ist,,
um die einen und die andern aus dem gegebenen Differential-
Ausdrucke fortzuschaffen, so daß nur noch die Differential - Coeffi-
cienten p, q, r, rc übrig bleiben werden, worin y als unmit
telbare Function von x angesehen wird.
Nimmt man, wie oben, an:
dt — x 2 d y 2 ,
woraus folgt
dx d 2 x -}- dy d 2 y s=s o ,
so erhalt man
— — d-yri-qdx 2 —p-d-y,
und folglich
d 2 y
dx-
, d 2 x
p q d x 2
1 + p 2 ' 1 -j- P 2
Setzt man den ersten dieser Ausdrücke in
^dxdt d xT^dx 2 -}- dy 2 ' dx 2 t / "l + p 2
d 2 y d 2 y d*y *
so gibt er den Ausdruck
' q
wieder, von dem wir im §. 126. ausgiengen.