164 Gleichungen mit mehreren Veränderlichen.
äs „.ydt . ä- dt
Setzt man nun, für ~ und deren Werthe » und b, und
eliminirt hierauf f' (t), so erhält man:
dz dz
b - a — = o.
d x dy
Diese Gleichung bietet ein Kennzeichen dar, um auszumitteln,
ob eine gegebene Größe eine Function von ax-s-by ist, oder nicht.
Denn, zufolge ihrer Entstehung, muß sie befriedigt oder identisch
werden, so oft man in ihr, für und deren Werthe substb
Wirt, .welche aus der Differentiation irgend einer Function von
rix -j- by entspringen. Ich nehme z. B. an, man kenne den Ur
sprung des Polynoms,
a 2 x 2 -f- 2 a x b y + b 2 y 2 ,
nicht; setzt man dasselbe gleich z, und differentiirt, so findet man
^ —2a 2 x-j-2aby, ^ —2ab x-j-2b 2 y; diese in die
dx
Gleichung,
d z
u i “ j —• u /
dx dy
gesetzten Werthe von ^ und von ~ machen dieselbe identisch;
folglich schließt man hieraus, daß das durch z bezeichnete Polynom,
eine Function von a x-s-b y ist, was übrigens dadurch bewährt
wird, daß
a 2 x 2 -f-2a bxy-}-b 2 y 2 = (a x-j-by) 2 .
Man sieht im Allgemeinen, daß, wenn u — o eine Gleichung
zwischen x, y, z und zwischen einer beliebigen durch f(t) bezeich
neten Function ist, in welcher letzteren man nur den Bestand von
t aus x, aus y und aus z kennt, vermittelst jener Gleichung und
ihrer auf x und auf y bezüglichen Differentiale, die Größen f (t)
und f' (t) immer eliminirt werden können. *)
*) Wenn b = a, so wird s(ax + by) zu s[a(x + y)], mithin zu einer
Function des Binoms x-py, und die Gleichung b ^ —a ^ = o
o, welches der Ausdruck der charakte«
verwandelt sich in
dz dz
dy
Mischen Eigenschaft ist, die im §.19. benutzt wurde , f(x + y) zu ent
wickeln. Man findet IN bcm „Traite etc.“ in 4to T. I. Kap. II. noch
andere Beispiele der Anwendung der partiellen Differential - Gleichun-