Krumme Oberflächen. 
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Geht man zu der zweiten Ordnung über, so wird die Anzahl 
der Gleichungen größer, und es ist in vielen Fallen möglich, zwei 
unbestimmte Functionen zu eliminiren; allein ich werde weder 
Dieses umständlich, noch Etwas über die Gleichungen mit mehr 
als drei Veränderlichen vortragen. 
Anwendung der Differential - Rechnung auf die 
Theorie der krummen Oberflächen. 
tz. 141. 
Da jede Gleichung zwischen drei Veränderlichen eine Oberfläche 
vorstellt, so wählt man, zur Ordinate der Oberfläche, diejenige 
Veränderliche, welche als durch die beiden andern bestimmt ange 
sehen werden soll. Bezeichnen wir mit x, y und z, diese drei Ver 
änderlichen , von denen wir in allein Folgenden voraussetzen, daß 
sie auf drei aufeinander senkrecht stehende Aren bezogen werden, so 
wollen wir z zur Ordinate und x nebst y zu Abseiften eines belie 
bigen Punktes der Oberfläche annehmen, so daß z eine Function 
von X und y seyn wird. 
So wie die Linien durch die Bewegung eines Punktes, so 
werden die Oberflächen durch die Bewegung von Linien erzeugt. 
So sind z. B. die Cylinder und Kegel, womit man sich in der 
Elementar-Geometrie beschäftigt, nur besondere Arten der beiden 
Familien von Oberflächen, welche durch die Bewe 
gung einer geraden Linie erzeugt werden, die sich 
immer parallel bleibt, oder durch einen gegebenen 
Punkt stets hindurchgeht. Um die Bewegung dieser Ge 
raden zu lenken, können wir uns, statt der Kreislinie, die zu den 
Cylindern und Kegeln führt, eben so wohl einer jeden andern 
beliebigen und im Raume beliebig gelegenen krummen Linie bebte- 
nen; allein es ist sehr merkwürdig, daß man, vermittelst der par 
tiellen Differential-Gleichungen, von der Form jener krummen 
Linie ganz absehen, und den gemeinschaftlichen Charakter aller 
Oberflächen, die zu derselben Familie gehören, allgemein aus 
drücken kann. 
Denn nehmen wir zuerst an, daß alle erzeugenden Geraden 
unter einander parallel seyn sollen, so müssen in ihre Gleichungen 
y = ax + cf, y = bx+/? (Trig. rc. §. 181), 
gen auf die Entwickelung von Functionen, und namentlich die Formel, 
welche das Theorem von Lagrange heißt.