Ä'nimmt Oberflächen. 
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§. 143. 
Man sieht auch noch bald ein, daß wenn sich eine beliebige 
ebene krumme Linie um die Are der z dreht, ein jeder ihrer 
Punkte einen Kreis beschreiben wird, der seinen Mittelpunkt in 
jener Are, und zum Halbmesser, die auf dieselbe Are bezogene 
Ordinate der erzeugenden krummen Linie, hat, so wie, daß der 
Halbmesser jenes Kreises, mit der Distanz dieses Letzteren von 
der Ebene xy, d. i. mit z, zugleich variirt. Stellt man dem 
nach die Gleichung des Kreises auf: 
x 2 + y 2 = a a , 
so muß a als eine Function von Z angesehen werden, und umge 
kehrt , woraus folgt: 
X 2 _j_ y2 _ f p ( z ) f oder 
z =V'( x2 +y 2 ), 
wenn ip eine der r/ entgegengesetzte Function bedeutet. Eliminirt 
man nun noch ip, so findet man die Gleichung: 
>*V7 — qx = o“, 
welche den Charakter der auf die oben erwähnte Art erzeugten 
Oberflächen ausdrückt, wenn die Kugelfläche nur ein besonderer 
Fall ist, und welche Umdrehungs-Flächen genannt werden. 
Um dieselben unter dem allgemeinsten Gesichtspunkte zu betrachten, 
müßte man der Are, um welche sich die erzeugende krumme Linie 
herumdreht, eine ganz beliebige Lage zukommen lassen. 
Wir haben in dem Ausdrucke der Familien von Oberflächen, 
die wir bisher betrachteten, nur eine einzige willkührliche Function 
einzuführen nöthig gehabt; wir würden deren mehr brauchen, 
wenn bei der Bewegung, oder bei der verlangten Beschaffenheit 
der erzeugenden Linien, mehr Bedingungen zu erfüllen wären; 
allein wir können diesen Gegenstand hier nur andeuten. Indessen 
werden wir dennoch bald Gelegenheit haben, noch eine Klasse von 
merkwürdigen Oberflächen kennen zu lernen, von jenen nämlich, 
welche sich, wie die Cylinder und Kegel, ohne zu zerreißen, und 
ohne Falten zu werfen, auf eine Ebene ausdehnen lassen, und 
deßhalb abwickelbare Oberflächen genannt werden (tz. 161). 
Endlich wäre auch das Verfahren zu zeigen, wie man in Folge 
einer gegebenen Bedingung die Form der willkührlichen Functionen 
modisiciren könne, welche in den ursprünglichen Gleichungen von 
Familien von Oberflächen enthalten sind; allein, da der vorzüg 
lichste Gebrauch jenes Verfahrens der Integral-Rechnung eigen 
ist, so werde ich dasselbe nach der Lehre der Integration der par 
tiellen Differential-Gleichungen vortragen.