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Krumme Oberflächen. 
§• 144. 
Betrachten wir jetzt die verschiedenen Arten von einem Punkte 
einer beliebigen Oberfläche zu einem andern überzugehen. 
Wenn x allein variirt und x-j-h wird, so geht man vom 
Flg. 36. Punkte M Fig. 36. zum Punkte m über, der sich in dem Durch 
schnitte QMm befindet, den eine, durch den Punkt Al, mit 
XL parallel geführte Ebene bildete, und die Ordinate m'm dieses 
Durchschnittes hat zur Entwickelung die Reihe 
d z h d 2 z h 2 d 3 z h 3 
z + Fxi + äi» U + +!C - 
Verwandelt sich y in y + k, und x bleibt konstant, so geht 
man zum Punkte n über, der sich in dem Durchschnitte PMn 
befindet, den eine, ebenfalls durch den Punkt Al, mit yz pa 
rallel geführte Ebene bildete, und die Ordinate n'n dieses Durch 
schnittes hat zur Entwickelung die Reihe 
d z k d 2 z k 2 d 3 z k 3 
Z ' (Ty 1 ‘ dH 12 ~T + K - 
Läßt man x und y zu gleicher Zeit variiren, so geht man 
vom Punkte M zu einem beliebigen Punkte N über, und zwar 
auf zwei verschiedene Arten, nämlich, indem man, statt y, y-J-k 
in der ersten, oder indem man, statt x, x-j-h in der zwerten 
obigen Entwickelung substituirt. Vermöge der einen Operation 
geht man, von der Ordinate m'm, zu der Ordinate N'N mt 
Durchschnitte pmN, und, vermöge der andern, von der Ordi 
nate n'n, zu der Ordinate N'N in dem Durchschnitte qnN 
über. Es ist einleuchtend, daß sich diese beiden Durchschnitte 
im Punkte M treffen müssen, weil die gegebene Oberfläche sonst 
nicht stetig seyn würde; es müssen demnach die in §§. 39. und 
40 aufgeführten Resultate identisch sey-n: die Gleichung 
d 2 z d 2 z 
dxdy d y d x' 
welche allein jene Identität bewirkt, ist also nur der Ausdruck 
des Gesetzes der Stetigkeit. 
Da wir die Reihe 
-s- k. , 
welche die Entwickelung desjenigen Werthes von z enthält, wel 
cher x -f-h nebst y + k entspricht, besonders zu betrachten haben« 
so wollen wir dieselbe, der Abkürzung halber, durch