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Krumme Oberflächen.
§• 144.
Betrachten wir jetzt die verschiedenen Arten von einem Punkte
einer beliebigen Oberfläche zu einem andern überzugehen.
Wenn x allein variirt und x-j-h wird, so geht man vom
Flg. 36. Punkte M Fig. 36. zum Punkte m über, der sich in dem Durch
schnitte QMm befindet, den eine, durch den Punkt Al, mit
XL parallel geführte Ebene bildete, und die Ordinate m'm dieses
Durchschnittes hat zur Entwickelung die Reihe
d z h d 2 z h 2 d 3 z h 3
z + Fxi + äi» U + +!C -
Verwandelt sich y in y + k, und x bleibt konstant, so geht
man zum Punkte n über, der sich in dem Durchschnitte PMn
befindet, den eine, ebenfalls durch den Punkt Al, mit yz pa
rallel geführte Ebene bildete, und die Ordinate n'n dieses Durch
schnittes hat zur Entwickelung die Reihe
d z k d 2 z k 2 d 3 z k 3
Z ' (Ty 1 ‘ dH 12 ~T + K -
Läßt man x und y zu gleicher Zeit variiren, so geht man
vom Punkte M zu einem beliebigen Punkte N über, und zwar
auf zwei verschiedene Arten, nämlich, indem man, statt y, y-J-k
in der ersten, oder indem man, statt x, x-j-h in der zwerten
obigen Entwickelung substituirt. Vermöge der einen Operation
geht man, von der Ordinate m'm, zu der Ordinate N'N mt
Durchschnitte pmN, und, vermöge der andern, von der Ordi
nate n'n, zu der Ordinate N'N in dem Durchschnitte qnN
über. Es ist einleuchtend, daß sich diese beiden Durchschnitte
im Punkte M treffen müssen, weil die gegebene Oberfläche sonst
nicht stetig seyn würde; es müssen demnach die in §§. 39. und
40 aufgeführten Resultate identisch sey-n: die Gleichung
d 2 z d 2 z
dxdy d y d x'
welche allein jene Identität bewirkt, ist also nur der Ausdruck
des Gesetzes der Stetigkeit.
Da wir die Reihe
-s- k. ,
welche die Entwickelung desjenigen Werthes von z enthält, wel
cher x -f-h nebst y + k entspricht, besonders zu betrachten haben«
so wollen wir dieselbe, der Abkürzung halber, durch