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Krumme Oberflächen. 
hat (Trig. rc. §. 176.), eine Abhängigkeit unter die Coordinaten 
x und y bringen; man darf alsdann nicht mehr die eine ohne 
die andere variiren lassen, und z kann nur auf Eine Art varii- 
ren: man muß nämlich alsdann das vollständige Differential 
dz = pdx + qdy gebrauchen, indem man bemerkt, daß die 
Gleichung der schneidenden Ebene, 
äy — «clx, 
gibt, wodurch man also erhält: 
dz := (p + aq) dx. 
Dieses Beispiel bietet die geometrische Erklärung desjenigen 
dar, welches man in §. 46., rücksichtlich des Gebrauches der 
vollständigen Differentiale, liest. Nimmt man nämlich eine 
Abhängigkeit zwischen den beiden Veränderlichen x und y an, 
so stellt man die Richtung fest, in welcher man von einem 
Punkte der gegebenen Oberfläche zu einem andern übergeht; 
denn wäre der Durchschnitt MN nicht durch eine auf xy senk 
rechte Ebene gebildet worden, und hätte also eine krumme Linie 
zu seiner Projection auf xy, so würde M'N' die Projektion 
auf xy derjenigen Geraden seyn, welche den Durchschnitt MN 
in M- berührte. 
§. 146. 
Die erste Bemerkung, die sich hier darbietet, besteht darin, 
daß die Grenze des Verhältnisses 
NN' —MM' 
M 7 N 7 ' 
welche die trigonometrische Tangente desjenigen Winkels gibt, 
den die, den durch die Ebene M'M N N' gebildeten Durchschnitt, 
im Punkte M, berührende Gerade mit ihrer Projection M'N' 
bildet (§. 58.), die Neigung jenes Durchschnittes gegen die 
Ebene xy mißt, und folglich den Abfall der Oberfläche in 
der Richtung MN anzeigt. Um aber jene Grenze zu erhalten, 
müssen wir 
NN' — MM' und M'N' = ^M' a7 a + N'm' 2 
durch die entsprechenden Differentiale 
dz = dx (p -j- tt q) Und Kd x 2 -}- d y 2 
ersetzen, wodurch die gesuchte Grenze folgende wird: 
P + 
Kl + a 2 
Dieses vorausgesetzt, kann gefragt werden, welches die Lage 
der schneidenden Ebene M'M NN' seyn müsse, damit obcger